Куб с ребром 12, сложенный из кубиков с ребром 1, облили белой краской. У скольких из маленьких кубиков оказалась покрашено 0 граней; 1 грань; 2 грани; 3 грани
Считаем тр-к равнобедренным, т.О пересечение биссектрис; если угол при вершине по условию 120 гр., то равные углы при основании А и С=(180-120)/2=30гр.; биссектриса АЕ делит угол А на 2 по 15 гр.; рассм. тр-к АОД, он прямоугольный, т.к. биссектриса ВД является медианой и высотой равнобедренного тр-ка. Угол АОД=90-15=75 гр. по свойству острых углов прямоугольного тр-ка. Углы АОД и ВОЕ вертикальные, значит угол ВОЕ=75гр. Аналогично угол FOB=75гр. Значит угол между биссектрисами АЕ и CF угол FOE=75+75=150 гр.
биссектриса АЕ делит угол А на 2 по 15 гр.; рассм. тр-к АОД, он прямоугольный, т.к. биссектриса ВД является медианой и высотой равнобедренного тр-ка.
Угол АОД=90-15=75 гр. по свойству острых углов прямоугольного тр-ка.
Углы АОД и ВОЕ вертикальные, значит угол ВОЕ=75гр.
Аналогично угол FOB=75гр. Значит угол между биссектрисами АЕ и CF угол FOE=75+75=150 гр.
Четырёхугольник MNKP - прямоугольник.
Отрезки MK и NP - диагонали.
Точка О - точка пересечения диагоналей.
∠MON = 64°.
Найти :∠ОМР = ?
Решение :Диагонали прямоугольника равны между собой и, по свойству параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.Отсюда имеем, что -
Рассмотрим ΔМОР - равнобедренный (так как равны две стороны).
Причём МО и ОР - боковые стороны.
Углы у основания равнобедренного треугольника равны (они-то как раз и лежат против боковых сторон).Поэтому -
∠ОМР = ∠ОРМ.
∠NOM - внешний для ΔМОР.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.Отсюда -
∠NOM = ∠ОМР + ∠ОРМ
∠ОМР + ∠ОРМ = 64°
Учитывая равенство углов -
∠ОМР = 64° : 2 = 32°.
ответ :32°.
№2.Дано :Четырёхугольник ABCD - равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Один из углов больше другого на 30°.
Найти :∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :Про какие именно углы идёт речь в задаче?
Дело в том, что -
Углы у основания равнобедренной трапеции равны (на рисунке выделены дугами).Отсюда -
∠D не может быть больше ∠С на 30°, потому что они равны.
Аналогично и с ∠А и ∠В.
Возьмём ∠D за х, тогда остаётся что ∠А = х+30°.
Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.Составляем уравнение и решаем его -
∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°
(х + 30°) + (х + 30°) + х + х = 360°
4х + 60° = 360°
4х = 300°
х = 75°.
∠А = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠В = х + 30° = 75° + 30° = 105°
∠С = х = 75°
∠D = х = 75°.
ответ :105°, 105°, 75°, 75°.
№3.Дано :Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
Стороны АВ и ВС - смежные.
ВС : АВ = 3 : 1.
Р(ABCD) = 40 см.
Найти :АВ = ?
ВС = ?
CD = ?
AD = ?
Решение :Пусть АВ = х, тогда ВС = 3х.
Периметр параллелограмма равен удвоенно сумме его смежных сторон.Отсюда -
Р(ABCD) = 2*(АВ + ВС)
40 см = 2*(х + 3х)
х + 3х = 20 см
4х = 20 см
х = 5 см.
АВ = х = 5 см
ВС = 3х = 3*5 см = 15 см.
Противоположные стороны параллелограмма равны.Отсюда -
АВ = CD = 5 см
ВС = AD = 15 см.
ответ :5 см, 15 см, 5 см, 15 см.
№4.Дано :Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция.
Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне = 48°.
Найти :∠А = ?
∠В = ?
∠С = ?
∠D = ?
Решение :∠А = ∠В = 90° (по определению прямоугольной трапеции).
Подмечу, что они действительно "прилегают" к боковой стороне. Но их разность не может быть равна 48°, так как они равны (90° - 90° = 0).
Поэтому, углы которые "прилегают" к боковой стороне CD точно должны давать в разности 48°.
Пусть ∠С = х (больший угол), а ∠D = у (меньший угол).
Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.Составим систему и решим её -
1)
2)
∠C = x = 114°
∠D = y = 66°.
ответ :90°, 90°, 114°, 66°.