Обозначим гипотенузу а, тогда катет будет равен а/ корень(2). Из угла треугольника проводим перпендикуляр к плоскости, и рассматриваем получившийся треугольник из катета который под 45 градусов и перпендикуляра, он является также прямоугольным и равнобедренным причем его гипотенуза это катет первого треугольника т.е. а/корень(2), тогда его катет(перпендикуляр) равен а/2. Теперь рассматриваем треугольник из гипотенузы первого треугольника и перпендикуляра, синус необходимого угла равен перпендикуляр/гипотенузу получается а/2 делим на а, получим 1/2, значит угол30 градусов
Pаа₁b₁b = 2(b + c) = 24
Paa₁d₁d = 2(a + c) = 32
b + c = 12
a + c = 16
b = 12 - c
a = 16 - c
Sбок = Pосн · c = 2(a + b) · c = 2(16 - c + 12 - c) · c = 2c(28 - 2c)
Sбок = 56c - 4c²
Рассмотрим зависимость площади боковой поверхности от высоты как функцию:
f(c) = 56c - 4c²
Надо найти точку максимума этой функции.
Можно найти просто проанализировав функцию: квадратичная, график - парабола, ветвями вниз, точка максимума - абсцисса вершины параболы:
с₀ = - 56 / (- 8) = 7
Итак, при с = 7 см площадь боковой поверхности максимальная.
Вернемся к системе:
b = 12 - 7 = 5 см
a = 16 - 7 = 9 см
V = abc = 5 · 9 · 7 = 315 см³