На сторонах угла ABC отложены равные отрезки BA = BC = 9,1 см и проведена биссектриса угла. На биссектрисе находится точка D, расстояние которой до точки C равно 7,6 см.

Длины всех ребер правильной шестиугольной призмы равны. Вычислителе длину большей диагонали призмы, если известно, что площадь боковой поверхности призмы  равна 96 см².

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы находится по формуле:

а - ребро нашей призмы.

Обратим внимание на чертеж. Искомая длина большей диагонали есть длина гипотенузы прямоугольного треугольника АА₁D.

AD = 2 * 4 = 8 (см)

По теореме Пифагора:

с² = a² + b²

AD₁² = AD² + DD₁²

AD₁² = 8² + 4²

AD₁² = 64 + 16

AD₁² = 80

AD₁ = √(16*5) = 4√5 (см)

ответ: 4√5 см

Треугольник АВС равнобедренный, значит BD биссектриса, медиана и высота, т.е. AD = DC и ΔABD прямоугольный, а DE - его высота.

По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике, квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу:

BD² = BE · AB

AD² = AE · AB

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда

АЕ = 4х, ВЕ = 9х, а АВ = 13х.

BD = √(9х · 13х) = 3х√13

AD = √(4x · 13x) = 2x√13

AC = 2AD = 4x√13.

Так как BD + AC = 14, то

3x√13 + 4x√13 = 14

7x√13 = 14

x = 2/√13 = 2√13 / 13 см

AB = BC = 13x = 2√13 см

AC = 4x√13 = 4 · 2√13/13 · √13 = 8 см

Pabc = AB + BC + AC = 2AB + AC = 2 · 2√13 + 8 = 4(√13 + 2) см