на стороне ab треугольника abc отмечена точка k так что отношение площадей треугольников ack и bck равняется 4 к 9 в каком отношении делит точка k сторону ab

8 см

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС.  АС=30см.  Обозначим точки касания вписанной окружности и сторон треугольника АС,  АВ и ВС соответственно К, Т, Р.

Тогда по условию задачи ВТ=12 см и АТ=14 см

Тогда АТ=АК= 14 см

КС= АС-АК=30-14=16 см

КС=РС=16 см

ВР=ВТ=12 см

Тогда АВ=АТ+ВТ=12+14=26 см, ВС =ВР+РС=12+16=28 см

Тогда периметр Р= 26+28+30=84 см

Тогда полупериметр р=Р:2=84:2=42

Тогда площадь треугольника по теореме Герона

S=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))= sqrt(42*12*14*16)=336

С другой стороны площадь треугольника может быть вычислена по формуле S=p*r=42*r=336

=> r=336/42

r=8

Дано: ABCD — ромб, М ∈ ВС, N ∈ CD, ΔAMN — равносторонний, MN=AD.

Найти: ∠АВС.

Решение.

1) У равностороннего треугольника все стороны равны.

Значит, AM=MN=AN. Известно, что MN=AD => AN=AD => ΔDAN равнобедренный, ∠ADC=∠AND=x.

2) У ромба все стороны равны и противоположные углы равны.

∠АВС=∠ADC=x. То есть значение "х" и будет нашим ответом.

AB=AD=AN, AN=AM => AB=AM, ∠ABM=∠AMB=x.

3) У равностороннего треугольника все углы равны по 60°. Значит, ∠AMN=∠MNA=∠NAM=60°.

4) Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°. Отсюда, ∠ADC+∠BAD=180°.

∠BAD= 180°–∠ADC= 180°–x.

5) Сумма углов каждого треугольника равна 180°. А это означает, что в ΔBAM ∠BAM= 180°–2x,

в ΔDAN ∠DAN=180°–2x,

откуда следует, что

∠BAM=∠DAN=180°–2x.

6) С пунктов 4 и 5 можем выразить угол BAD и таким образом найти значение "х".

∠BAD=180°–x.

∠BAD=∠BAM+∠DAN+∠NAM= 2(180°–2x)+60°.

Приравняем:

180°–х=2(180°–2х)+60°;

180°–х=360°–4х+60°;

–х+4х=360°+60°–180°;

3х=240°;

х= 80°.

х=∠АВС=80°.

ОТВЕТ: 80°.