a)
Плоскость (OEF) проходит через через среднюю линию △ADC.
EF||AC, следовательно плоскость (OEF) параллельна AC и ее след KL в грани ABC также параллелен AC, KL||AC.
По теореме о пропорциональных отрезках KL делит BC, BM, BA в равном отношении 2:1 (O - пересечение медиан, BO:OM =2:1)
Теорема Менелая для △BAD
BK/KA *AE/ED *DT/TB =1 => 2/1 *1/1 *DT/TB =1 => DT=DB
Аналогично для △BCD.
Прямые KE и LF - значит и плоскость (ОEF) - пересекают прямую DB в точке T так, что DT=DB.
б)
Плоскость (OEF) параллельна AC, достаточно найти расстояние от любой точки прямой до плоскости.
BM, DM - медианы и высоты => AC⊥(BMD) => (BMD)⊥(OEF)
ON - линия пересечения перпендикулярных плоскостей.
MH⊥ON => MH⊥(OEF), искомое расстояние.
Далее решаем в плоскости (BMD)
Правильный тетраэдр, O - центр основания.
DO =√6/3 *3√6 =6 (высота правильного тетраэдра)
N - середина DM (т Фалеса)
ON=NM (медиана из прямого угла)
△ONM - равнобедренный => ∠MOH=∠DMO
△MOH~△DMO => MH/DO =OM/DM
BM=DM, BO/OM =2/1 => OM/DM =1/3 => MH =DO/3 =2
Дан правильный тетраэдр с ребром 3√6.
Так как сечение проходит через середины боковых рёбер, то линии сечения в плоскостях граней ABC и ADC параллельны ребру АС.
Поэтому расстояние от точки А до заданной плоскости равно этому же расстоянию от любой точки на прямой АС.
Проведём перпендикулярное сечение к заданной плоскости через апофему DM.
Получим равнобедренный треугольник ОТМ.
Боковые стороны его равны половине апофемы А.
А = 3√6*cos 30° = 3√6*(√3/2) = 9√2/2.
OT = TM = 9√2/4.
OM = A/3 = 9√2/6 = 3√2/2.
Решаем этот треугольник и находим высоту МЕ = 2, которая и есть расстояние до заданной плоскости.
Можно использовать формулу h = 2S/OT.
Высота пирамиды - правильного тетраэдра - равна а√(2/3) = 6.
Значит высота треугольника ОТМ = 6/2 = 3.
S = (1/2)*3*OM = (3/2)*3√2/2 = 9√2/4.
h = 2*(9√2/4)/(9√2/4) = 2.
a)
Плоскость (OEF) проходит через через среднюю линию △ADC.
EF||AC, следовательно плоскость (OEF) параллельна AC и ее след KL в грани ABC также параллелен AC, KL||AC.
По теореме о пропорциональных отрезках KL делит BC, BM, BA в равном отношении 2:1 (O - пересечение медиан, BO:OM =2:1)
Теорема Менелая для △BAD
BK/KA *AE/ED *DT/TB =1 => 2/1 *1/1 *DT/TB =1 => DT=DB
Аналогично для △BCD.
Прямые KE и LF - значит и плоскость (ОEF) - пересекают прямую DB в точке T так, что DT=DB.
б)
Плоскость (OEF) параллельна AC, достаточно найти расстояние от любой точки прямой до плоскости.
BM, DM - медианы и высоты => AC⊥(BMD) => (BMD)⊥(OEF)
ON - линия пересечения перпендикулярных плоскостей.
MH⊥ON => MH⊥(OEF), искомое расстояние.
Далее решаем в плоскости (BMD)
Правильный тетраэдр, O - центр основания.
DO =√6/3 *3√6 =6 (высота правильного тетраэдра)
N - середина DM (т Фалеса)
ON=NM (медиана из прямого угла)
△ONM - равнобедренный => ∠MOH=∠DMO
△MOH~△DMO => MH/DO =OM/DM
BM=DM, BO/OM =2/1 => OM/DM =1/3 => MH =DO/3 =2
Дан правильный тетраэдр с ребром 3√6.
Так как сечение проходит через середины боковых рёбер, то линии сечения в плоскостях граней ABC и ADC параллельны ребру АС.
Поэтому расстояние от точки А до заданной плоскости равно этому же расстоянию от любой точки на прямой АС.
Проведём перпендикулярное сечение к заданной плоскости через апофему DM.
Получим равнобедренный треугольник ОТМ.
Боковые стороны его равны половине апофемы А.
А = 3√6*cos 30° = 3√6*(√3/2) = 9√2/2.
OT = TM = 9√2/4.
OM = A/3 = 9√2/6 = 3√2/2.
Решаем этот треугольник и находим высоту МЕ = 2, которая и есть расстояние до заданной плоскости.
Можно использовать формулу h = 2S/OT.
Высота пирамиды - правильного тетраэдра - равна а√(2/3) = 6.
Значит высота треугольника ОТМ = 6/2 = 3.
S = (1/2)*3*OM = (3/2)*3√2/2 = 9√2/4.
h = 2*(9√2/4)/(9√2/4) = 2.