В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
Для трапеции АВСD, в которую вписана окружность, BC+AD=AB+CD=60+16+36=112 см.
Стороны трапеции - касательные к вписанной окружности. Обозначим точки касания на ВС– Е, на СD - К, на AD-М. По свойству равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки, СЕ=СК=16, DK=DM=36.
Соединим точки касания на основаниях отрезком ЕМ. Опустим высоту СН. МН=ЕС=16
DH=DM-CE=36-16=20.
По т.Пифагора СН=√(CD²-DH²)=√(52²-20²)=48 (см)
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Расстоянием от точки до прямой называется длина кратчайшего перпендикуляра. таким образом, необходимо опустить перпендикуляр из точки с на прямую sa. для этого достроим равнобедренный треугольник sca и перпендикуляр сk, при чем k лежит на самой стороне sa, так как угол sca острый. обозначим ck за х. тогда по т. пифагора: х^2+sk^2=sc^2 x^2+ak^2=ac^2. отсюда приравняем: sc^2-sk^2=ac^2-ak^2. 4-sk^2=sqrt2(диагональ через 1 вершину в правильном шестиугольнике в sqrt2 раза больше стороны, т.е. ac=ab*sqrt2=-sk)^2. 4-sk^2=sqrt2-(4-4sk+sk^2). 4-sk^2=sqrt2-4+4sk-sk^2. 4=sqrt2-4+4sk. 4sk=8-sqrt2. sk=2-(sqrt2)/4. kc^2=sc^2-sk^2=4-(4-sqrt2+1/8)=sqrt2-1/8. kc=sqrt(sqrt2-1/8).
ответ: 2688 см²
Объяснение:
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
Для трапеции АВСD, в которую вписана окружность, BC+AD=AB+CD=60+16+36=112 см.
Стороны трапеции - касательные к вписанной окружности. Обозначим точки касания на ВС– Е, на СD - К, на AD-М. По свойству равенства отрезков касательных, проведенных из одной точки, СЕ=СК=16, DK=DM=36.
Соединим точки касания на основаниях отрезком ЕМ. Опустим высоту СН. МН=ЕС=16
DH=DM-CE=36-16=20.
По т.Пифагора СН=√(CD²-DH²)=√(52²-20²)=48 (см)
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S(ABCD)=0,5(BC+AD)•CH=0,5•112•48=2688 см².