Плоскость, проведенная параллельно стороне AC треугольника ABC пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответственно, AM : MB = 2 : 5. Найдите AC, если MK = 15.

Пусть данные перпендикулярные прямые проходящие через центр О квадрата АВСД, пересекают стороны АВ, ВС, СД, ДА, соответственно в точках М, N, K, L(точки перечислены по часовой стрелке). При повороте относительно центра О квадрат на угол 90° по часовой стрелке прямая АВ переходит в прямую ВС, а прямая МК, в прямую NL, следовательно точка М пересечения прямых АВ и КМ переходит в точкуN пересечения прямых ВС и LN.Аналогично для остальных вершин четырехугольника MNKL. Таким образом при повороте относительно точки О на угол 90° четырехугольник MNKL переходит в себя, тоесть в квадрат.

R = 7; радиус вписанной в треугольник ABC окружности.
1) Сумма расстояний от точки O до BС и AD равна 7 + 8 = 15; это - высота параллелограмма, и  - одновременно - высота треугольника ABC к стороне ВС; я обозначу эту высоту буквой h; h = 15;
2) Если обозначить точки касания сторон треугольника ABC с вписанной окружностью K - для AB, L - для BC, M - для AC, то AK = AM = 24 (треугольник AOK имеет катет 7 и гипотенузу 25, то есть это Пифагоров треугольник 7, 24, 25)
Легко видеть, что ПОЛУпериметр треугольника ABC равен p = AK + BL + CL = 24 + BC; 
3) теперь площадь треугольника ABC можно выразить двумя
S = p*r = 7*(24 + BC) = h*BC/2 = 15*BC/2;
14*(24 + BC) = 15*BC; BC = 336;
S = 15*336 = 5040;