1. ABCD - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей прямоугольника. OT - высота треугольника ABO, ∠TOB = 25°. Найдите ∠ODC.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит АО = ОВ = ОС = OD. ΔАОВ равнобедренный. ОТ - его высота, проведенная к основанию, а значит и биссектриса. Тогда ∠АОВ = 2∠ТОВ = 2 · 25° = 50°. ∠COD = ∠АОВ = 50° как вертикальные. ΔCOD равнобедренный, значит углы при основании равны. ∠ODC = ∠OCD = (180° - 50°)/2 = 130°/2 = 65°
2. Найдите диагонали ромба, если известно, что их полусумма равна 8,2 мм и одна из них в 3 раза меньше другой.
Пусть х мм - длина одной диагонали, тогда 3х мм - длина другой. Их сумма равна 8,2 · 2 = 16,4 мм x + 3x = 16,4 4x = 16,4 x = 4,1 3x = 12,3 ответ: 4,1 мм, 12,3 мм
3. А₁А₂А₃А₄ - квадрат со стороной а и диагональю b. О - точка пересечения диагоналей, ОЕ - высота треугольника А₁ОА₄. Как найти периметр треугольника А₁ОЕ?
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам. Тогда А₁О = ОА₄ = b/2. В равнобедренном треугольнике А₁ОА₄ высота ОЕ является медианой, значит А₁Е = а/2. ОЕ║А₁А₂ как перпендикуляры к одной прямой, О - середина А₂А₄, тогда ОЕ - средняя линия треугольника А₁А₂А₄. ОЕ = А₁А₂/2 = а/2 Pa₁oe = А₁О + ОЕ + А₁Е = b/2 + a/2 + a/2 = b/2 + a
4. Найдите неверное утверждение.
1) у прямоугольника диагонали не взаимно перпендикулярны; 2) и у прямоугольника, и у квадрата все стороны равны - не верно, так как у прямоугольника равны только противолежащие стороны. 3) квадрат нельзя назвать ромбом - не верно, так как ромб - это параллелограмм с равными сторонами, а у квадрата все стороны равны и противоположные стороны параллельны. 4) и у прямоугольника, и у квадрата все углы прямые.
Объяснение:
1) Р Δ = 30 см.
Пусть а, b, с - стороны треугольника.
Если а = 20 см, то а + b + с = Р Δ ;
20 + b + с = 30; b + с = 30 - 20; b + с = 10 (см).
Для сторон треугольника должна выполняться неравенство треугольника:
а < b + с (20> 10); b <а + с; с <b + а.
Поскольку неравенство не выполняется, то сторона
не может равняться 20 см.
2) Р Δ = 30 см.
Пусть а, b, с - стороны треугольника.
Если а = 15 см, то: а + b + с = Р Δ ;
15 + b + с = 30; b + с = 30 - 15; b + с = 15 (см).
Для сторон треугольника должна выполняться неравенство треугольника:
a < b + c (15 = 15); b <а + с; с <b + а.
Поскольку неравенство не выполняется, то сторона
не может равняться 15 см.
Найдите ∠ODC.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит АО = ОВ = ОС = OD.
ΔАОВ равнобедренный. ОТ - его высота, проведенная к основанию, а значит и биссектриса. Тогда
∠АОВ = 2∠ТОВ = 2 · 25° = 50°.
∠COD = ∠АОВ = 50° как вертикальные.
ΔCOD равнобедренный, значит углы при основании равны.
∠ODC = ∠OCD = (180° - 50°)/2 = 130°/2 = 65°
2. Найдите диагонали ромба, если известно, что их полусумма равна 8,2 мм и одна из них в 3 раза меньше другой.
Пусть х мм - длина одной диагонали, тогда
3х мм - длина другой.
Их сумма равна 8,2 · 2 = 16,4 мм
x + 3x = 16,4
4x = 16,4
x = 4,1
3x = 12,3
ответ: 4,1 мм, 12,3 мм
3. А₁А₂А₃А₄ - квадрат со стороной а и диагональю b. О - точка пересечения диагоналей, ОЕ - высота треугольника А₁ОА₄.
Как найти периметр треугольника А₁ОЕ?
Диагонали квадрата равны и точкой пересечения делятся пополам.
Тогда А₁О = ОА₄ = b/2.
В равнобедренном треугольнике А₁ОА₄ высота ОЕ является медианой, значит А₁Е = а/2.
ОЕ║А₁А₂ как перпендикуляры к одной прямой, О - середина А₂А₄, тогда
ОЕ - средняя линия треугольника А₁А₂А₄.
ОЕ = А₁А₂/2 = а/2
Pa₁oe = А₁О + ОЕ + А₁Е = b/2 + a/2 + a/2 = b/2 + a
4. Найдите неверное утверждение.
1) у прямоугольника диагонали не взаимно перпендикулярны;
2) и у прямоугольника, и у квадрата все стороны равны - не верно, так как у прямоугольника равны только противолежащие стороны.
3) квадрат нельзя назвать ромбом - не верно, так как ромб - это параллелограмм с равными сторонами, а у квадрата все стороны равны и противоположные стороны параллельны.
4) и у прямоугольника, и у квадрата все углы прямые.