Позначте точки A, B i C. Побудуйте точку, у яку переходить точка А при паралельному перенесенні, що переводить: 1) точку B в точку С; 2) точку С в точку В. Розгляньте два випадки: а) точка С лежить на прямій AB; б) точка C не лежить на прямій АВ.

Я это понимаю так: На отрезках АМ и МВ, как на сторонах, построены квадраты АМСД и МВЕF... Далее то тексту.

В прямоугольных треугольниках АМF и СМВ катеты FМ=МВ и АМ=СМ, значит тр-ки равны. ∠МСВ=∠FАМ.
В тр-ке СМВ ∠МСВ+∠СВМ=90°, значит ∠NАВ+∠NВА=90°, значит тр-ник АNВ - прямоугольный.
Треугольники АNВ и МСВ подобны по трём углам, значит NВ/МВ=АN/СМ, но СМ=АМ ⇒ NВ/МВ=АN/АМ. В тр-ке АNВ это тождество соответствует утверждению теоремы биссектрис, значит NМ - биссектриса тр-ка АNВ.
Во вписанном в окружность прямоугольном треугольнике АNВ АВ - диаметр, биссектриса АМ пересекает окружность в точке S, причём ∩AS=∩BS, так как на них опираются равные вписанные углы ANS и BNS.
Таким образом, точка S - середина дуги АВ. Это будет работать всегда, при любом положении точки М на отрезке АВ. Т.к. АВ - всегда диаметр одинаковой окружности, все прямые MN проходят через точку S.
Доказано.

Точка М находится на одинаковом расстоянии от всех вершин прямоугольного треугольника АВС, т.е. получаем пирамиду МАВС. АВ=12 см, МА=МВ=МС=10 см.

М -вершина пирамиды ,проектируется на середину гипотенузы, в центр окружности - точка О, описанной около прямоугольного треугольника.
радиус описанной окружности R=ОА=ОВ=ОС=6 см
рассмотрим прямоугольный треугольник МОА:
гипотенуза МА=10 см,
< МОА=90°,
катет ОА=6 см
катет ОМ найти по теореме Пифагора:
МА²=МО²+ОА²
10²=МО²+6²
МО=8 см

ответ: расстояние от точки до плоскости прямоугольного треугольника =8 см