Прямокутники АВСD і МТОН мають рівні площі. У пря­мокутника АВСD сторони дорівнюють 10 см і 60 см. Знай­ти сторони прямокутника МТОН, якщо вони відносяться, як 2:3

Даны три вершины а(2;-8;9),в(-1;3;4) с(-4;6;3) параллелограмма АВСД.

Находим середину диагонали АС (это центр параллелограмма - точка О).

О ((2-4)/2= -1; (-8+6)/2= -1; (9+3)/2= 6) = (-1; -1; 6).

Вершину Д находим как симметричную точке В относительно центра.

хД = 2хО - хВ = 2*(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1,

yД = 2уО - уВ = 2*(-1) - 3 = -2 - 3 = -5,

zД = 2zО - zВ = 2*6 - 4 = 8.

ответ: Д(-1; -5; 8).

Можно применить другой

У параллелограмма ВА и СД имеют одинаковую разность координат по осям Ох и Оу.

А(2;-8;9), В(-1;3;4), С(-4;6;3).

Для ВА это равно (3; -11; 5).Прибавляем эту разность к координатам точки С:

Д = (-4+ 3 = -1; 6 - 11 = -5, 3 + 5 = 8).

ответ: Д(-1; -5; 8).

AB =16 ; ∠A =30° ; ∠B =105° .

1) BC -?
2) (меньшая сторона) -?

1) AB/sin∠C =BC/sinA   =  AC/sin∠B  = 2R (теорема синусов).
∠C =180° -(∠A +∠B )= 180° -(30° +105°) =45°.
16/sin45° =BC/sin30°⇒
BC =15*(sin30°/sin45°) =16*(1/2) / (1/√2) =(16√2)/2 =8√2≈11,28 (см).
---
2) меньшая сторона та, которая лежит против меньшего угла , 
эта сторона BC(лежит против меньшего угла ∠A=30°).  
 
длину  AC  не требуется , но :
AC /sin∠B = AB/sin∠C ⇒AC =AB*sin(∠B)/(sin∠C)=
16* sin105°/(1/√2) =16√2sin105°=16√2*√2(√3 +1)/4 =8(√3 +1) .

sin105° =sin(180°-75°) =sin75°=sin(45°+30°) =...
или 
sin105° =sin(60°+45°) =sin60°*cos45°+cos60°*sin45°=
(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(√2/2) =√2(√3 +1)/4.

* * * * * * *    Второй
∠C =180° -(∠A+∠B) =180° -(30°+105°) =45°.
Проведем высоту  BH⊥AC (∠AHB=90°) ⇒  Прямоугольный треугольник BHC  равнобедренный CH =BH ,т.к.  ∠C =45°.
По теореме Пифагора из ΔBHC:
BC =√ (BH² +CH²) =√(2BH²) =BH√2 . Но из ΔABH  BH=AB/2 =8(как катет против угла
∠A =30°). Значит BC =BH√2 =8√2.