решить: Дано: ABC - равнобедренный треугольник. АМ и BN биссектрисы угла. Доказать: AM = BN.​

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикулярного к ней отрезка. 

Обозначим вершины ромба АВСD. 

Точка L удалена от прямых, содержащих стороны ромба, на одинаковое расстояние. ⇒ наклонные, проведенные из L перпендикулярно к сторонам ромба, равны, и по т. о з-х перпендикулярах равны их проекции. 

Эти проекции равны половине диаметра вписанной в ромб окружности, который равен высоте ВН ромба. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей ромба. 

ВН=АВ•sin 45°=(a√2)/2=a/√2.

Радиус ОK=а/2√2. 

По т.Пифагора из ∆ LOK  катет LO=√(LK²-OK²) 

LO=√(b²- a²/8) Домножив в подкоренном выражении числитель и знаменатель на 2, получим LO=√[2•(8b²-a²):16]=[√2•(8b²-a²)]:4

Четырехугольник ABCD, К - середина АВ, L - середина ВС, M - середина CD, N - середина AD, Р - середина АС, Q - середина BD. Надо доказать, что КМ, LN и PQ пересекаются в одной точке.КN - средняя линяя в треугольнике ABD, поэтому KN II BD, KN = BD/2; точно также доказывается, что LM II BD, KL II AC, MN II AC. Поэтому KLMN - параллелограмм, в котором LN и KM - диагонали, поэтому в точке пересечения они делятся пополам, то есть КМ проходит через середину LN.С другой стороны,LQ - средняя линяя в треугольнике BCD, то есть LQ II CD, а PN - средняя линяя в треугольнике ACD, PN II CD, следовательно, PN II LQ.LP - средняя линяя в треугольнике ABC, то есть LP II AB, а QN - средняя линяя в треугольнике ABD, QN II AB, следовательно, QN II LP.Поэтому PLQN - параллелограмм, и его диагонали PQ и LN в точке пересечения делятся пополам.То есть PQ, так же как и КМ, проходит через середину LN.