решить Вычислите площадь кольца, ограниченного вписанной и описанной окружностями, указанным в задаче 4.24
(Вот задача 4.24 Сторона правильного n-угольника равна а. Вычислите площадь описанного около него и вписанного в него круга, если n=3; 4; 6.

Найдём, по теореме Пифагора, второй катет в данном прямоугольном треугольнике, он равен , найденный нами катет является меньшим, поэтому вращение треугольника происходит вокруг него, при этом образуется конус. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, в котором боковые стороны равны образующей, а основание равно диаметру окружности, лежащей в основании конуса, в данном случае образующая равна гипотенузе, диаметр-двум большим катетам данного треугольника, а высота-меньшему катету, значит площадь сечения равна:

Определите периметр прямоугольника,  если его диагональ равна 2√10 м, а площадь 12 м²

Вариант решения (если уже знакомы с теоремой косинусов)

Площадь параллелограмма, а прямоугольник, как известно, - параллелограмм,  можно найти разными в том числе по формуле 

S=0,5•d₁•d₂•sin α /2, где d₁и d₂ - диагонали, α- угол между ними. 

В прямоугольнике диагонали равны, поэтому 

S=0,5•d²•sin α

12=0,5•(2√10)²•sin α⇒

sin α=2S:d²=24: 40=0,6

sin²α+cos²α=1⇒

cos α=√(1-0,36)=0,8 

Теорема косинусов. 

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними

Эта формула позволяет вычислить длину одной из сторон треугольника по данным длинам двух других сторон и величине угла, лежащего против неизвестной стороны.

Пусть данный прямоугольник АВСД, и О – точка пересечения  его диагоналей.

АВ²=ВО²+АО²-2•BO•AO•cos α

В прямоугольнике  диагонали  равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому АО=ВО=d/2=√10⇒

Тогда

  AB²=10+10-2•(√10)•(√10)•0,8⇒

АВ²=4

АВ=СД=2 м

Из другой формулы площади прямоугольника

  S=a•b найдем вторую сторону:

S=АД•AB

12=АД•2

ВС=АД=12:2=6 м

Р=2(AB+BC)=16 м