Решение: Пусть ABCD – данная трапеция, AB||CD,AD=BC,AB<CD.
Угол ADC=угол BCD=a
Пусть О – центр вписанной в трапецию окружности. K, L, M, N – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соотвеcтвенно.
Площадь трапеции равна (AB+CD)\2*2r=(AB+CD)*r.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
Угол ODC=угол OCD=а\2
Угол OAB=угол OBA =90-а\2.
Далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)
Угол KON= угол MON=180-а.
Угол KOL= угол MOL=a.
Площадь KLMN равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).
DN=CN=r*ctg (a\2), CD=2*r*ctg (a\2).
AL=BL=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), AB=2*r*tg (a\2)
Площадь трапеции ABCD равна (AB+CD)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=
2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))).
площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции
2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))) *100%=
=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=
=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %
ответ: (sin a^2 * 50) %
Решение: Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед, площадь диагонального сечения ACC1A1 равна P, а диагонального сечения BDD1B1 равна Q. Тогда
AC*h=P, BD*h=Q, где – h высота параллелепипеда (так как диагональные сечения прямого параллелепипеда - прямоугольники)
Отсюда отношение диагоналей AC:BD=P:Q.
Пусть О – точка пересечния диагоналей ромба.
Диагонали ромба(как параллелограмма) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (свойство ромба).
Поэтому
AO:BO=(1\2*AC) : (1\2*BD)=P:Q
Пусть AO=P*x, тогда BO=Q*x, AC=2P*x, BD=2Q*x
по теореме Пифагора:
AB=корень (AO^2+BO^2)= корень (AO^2+BO^2)= корень ((P*x)^2+(Q*x)^2)=
= корень (P^2+Q^2)*х
AC*h=P, BD*h=Q, значит
2P*x*h+2Q*x*h=P+Q
2(P+Q)*x*h=P+Q
h=1\2*1\x
Площадь боковой поверхности равна 4* AB*h=
=4* корень (P^2+Q^2)*х*1\2*1\x=2*корень (P^2+Q^2).
ответ: 2*корень (P^2+Q^2).
Решение: Пусть ABCD – данная трапеция, AB||CD,AD=BC,AB<CD.
Угол ADC=угол BCD=a
Пусть О – центр вписанной в трапецию окружности. K, L, M, N – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соотвеcтвенно.
Площадь трапеции равна (AB+CD)\2*2r=(AB+CD)*r.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.
Угол ODC=угол OCD=а\2
Угол OAB=угол OBA =90-а\2.
Далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)
Угол KON= угол MON=180-а.
Угол KOL= угол MOL=a.
Площадь KLMN равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).
DN=CN=r*ctg (a\2), CD=2*r*ctg (a\2).
AL=BL=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), AB=2*r*tg (a\2)
Площадь трапеции ABCD равна (AB+CD)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=
2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))).
площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции
2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))) *100%=
=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=
=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %
ответ: (sin a^2 * 50) %
Решение: Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед, площадь диагонального сечения ACC1A1 равна P, а диагонального сечения BDD1B1 равна Q. Тогда
AC*h=P, BD*h=Q, где – h высота параллелепипеда (так как диагональные сечения прямого параллелепипеда - прямоугольники)
Отсюда отношение диагоналей AC:BD=P:Q.
Пусть О – точка пересечния диагоналей ромба.
Диагонали ромба(как параллелограмма) пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (свойство ромба).
Поэтому
AO:BO=(1\2*AC) : (1\2*BD)=P:Q
Пусть AO=P*x, тогда BO=Q*x, AC=2P*x, BD=2Q*x
по теореме Пифагора:
AB=корень (AO^2+BO^2)= корень (AO^2+BO^2)= корень ((P*x)^2+(Q*x)^2)=
= корень (P^2+Q^2)*х
AC*h=P, BD*h=Q, значит
2P*x*h+2Q*x*h=P+Q
2(P+Q)*x*h=P+Q
h=1\2*1\x
Площадь боковой поверхности равна 4* AB*h=
=4* корень (P^2+Q^2)*х*1\2*1\x=2*корень (P^2+Q^2).
ответ: 2*корень (P^2+Q^2).