Пусть ABCD - данный параллелограмм, а A', B', C', D' - точки, в которые переходят A, B, C, D. Т.к. при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную ей плоскость (или в себя), то плоскость α'В'С'D' параллельна плоскости αВCD.Т. к. при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то AA' || BB' || CC' || DD' и AA' = BB' = CC' = DD'.Так что в четырехугольнике AA'D'D противолежащие стороны параллельны и равны, а, значит, AA'D'D — параллелограмм. Тогда A'D' = AD и A'D' || AD.Аналогично A'B' = AB и A'B' || AB; C'D' = CD и C'D' || CD; B'C' = BC и B'C' || BC.Т. к. две прямые, параллельные третьей, параллельны, то получаем, что A'D' || B'C', A'B' || C'D'.А, значит, A'B'C'D' — параллелограмм, равный параллелограмму ABCD (т.к. соответствующие стороны равны). Что и требовалось доказать.
Даны векторы а(0;m;-2) и b(-1;0;-1.
Находим их модули.
|а| = √(0² + m² + (-2)²) = √(m² + 4),
|b| = √(-1)² + 0² + (-1)²) = √2.
cos(a_b) =( axb)/(|a|*|b|) = (0 + m + 2)/(√(m² + 4)*√2) = (m + 2)/(√(2m² + 8).
Так как cos 60° = (1/2). то приравняем:
(m + 2)/(√(2m² + 8) = 1/2,
2m + 4 = √(2m² + 8), возведём обе части в квадрат.
4m² + 16m + 16 = 2m² + 8.
Получаем квадратное уравнение 2m² + 16m + 8 = 0, или
m² + 8m + 4 = 0.
Ищем дискриминант:
D=8^2-4*1*4=64-4*4=64-16=48;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
m_1=(√48-8)/(2*1)=(√48/2)-(8/2)=(4√3/2)-4= 2√3-4 ≈ -0,535898;
m_2=(-√48-8)/(2*1)=-√48/2-8/2=(-4√3/2-4= -2√3-4≈ -7,464102.
ответ: m = -4 ±2√3.