Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника

Даны стороны треугольника АВС: а=18, b=15 и с=12.
Найти длину биссектрисы угла А.
Решение.
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные сторонам угла.
То есть ВН/НС=12/15 = 4/5.  => ВН=8, НС=10.
<BAH=<CAH (АН - биссектриса).
Тогда по теореме косинусов:
Cos(A/2) =  (АН²+12² - 8²)/(2*АН*12) - из треугольника ВАН.  (1)
Cos(A/2) =  (АН²+15² - 10²)/2*АН*15) - из треугольника САН.  (2)
Приравняем (1) и (2):
(АН²+125)/30АН = (АН²+80)/24АН  =>  4(АН²+125)=5(АН²+80) =>
АН²=100.  АН=10.
ответ: биссектриса АН=10.

Дано:                                                       Решение:
SABCD - правильная
AB = BC = BS = 1                ΔSCD и ΔSAB - равносторонние
SM = MC; SK = KB              CD = AB и CM = KB; => DM⊥SC и AK⊥SB
-----------------------------          Следовательно: AK = MD
Доказать:  AK = MD            и трапеция AKMD - равнобедренная 
Найти:  cos α                      

Построим SF⊥BC. Так как ΔBSC - равносторонний, то BF = FC = 0,5
Тогда:
            SF = √(SC²-FC²) = √0,75 = √3/2
        и  NF = SF/2 = √3/4

SX - высота пирамиды.
В ΔSXF:  ∠SXF = 90°; XF = 0,5; SF = √3/2
Тогда:
             SX = √(SF²-FX²) = √(0,75-0,5) = √0,25 = 0,5
и ΔSXF - равнобедренный, т.е. SX = XF = 0,5  и ∠SFX = 45°

В трапеции AKMD находим NP = MP': 

 так как KM = BC/2 по условию, то MN = BC/4 = 0,25
 так как DM⊥SC и СМ = 0,5; DC = 1, то: DM = √(1-0,25) = √3/2
 Тогда:
      NP = MP' = √(DM²-(PD-MN)²) = √(3/4 - (0,5-0,25)²) =√(11/16) = √11/4

В  ΔNPF:  NP = √11/4; NF = √3/4; PF = 1
По теореме косинусов:
                                    NF² = NP² + PF² - 2*NP*PF*cosα
                                    3/16 = 11/16 + 1 - 2√11/4 * 1 * cosα
                                    √11/2 * cosα = 11/16 - 3/16 + 1
                                    cosα = 3√11/11
                                    cosα = 0,9
                               
ответ: 0,9