Задачу можно очень сильно упростить. Точка К - центр грани А1B1C1D1 - принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть - обеим плоскостям. Точно так же центр грани ABB1A1 - точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям. Таким образом КМ - линия пересечения плоскостей.
Треугольники А1КМ и В1КМ - равносторонние. Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно √2, а высота треугольника А1КМ (и В1КМ - тоже) равна √3/2;
То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов
(√2)^2 = (√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x = -1/3; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный. Дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора.
На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод. Пусть Р - середина А1В1. Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х - через точку К, Y - через точки А1 и В1.
Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1 = РВ1 = РК = РМ = 1;
Плоскость ВА1С1 - то есть плоскость А1КМ проходит через точки К = (1,0,0); А1 = (0,-1,0); М = (0,0,-1);
уравнение такой плоскости x - y - z = 1; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)
Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q = (1,-1,-1);
модуль этого вектора равен √3
Плоскость АВ1С1 - то есть плоскость В1КМ проходит через точки К = (1,0,0); В1 = (0,1,0); М = (0,0,-1);
уравнение такой плоскости x + y - z = 1;
Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1,-1);
модуль этого вектора тоже равен √3;
осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. Скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3.
Видно, что тут ответ получается сам собой. Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.
Докажем, что АР параллельна ВС. (а не ВК, так как точки К в задании не наблюдается)
Итак, тр-к АВР - равнобедренный, так как АР=РВ (дано). Значит угол АВР=углу РАВ, а угол СВА = углу АВР, так как ВА - биссектриса. Имеем угол СВА= углу РАВ, а они - накрест лежащие при прямых АР и ВС. Значит ВС параллельна АР по 1-му признаку параллельности прямых:
Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то
Задачу можно очень сильно упростить. Точка К - центр грани А1B1C1D1 - принадлежит прямым B1D1 и A1C1, то есть - обеим плоскостям. Точно так же центр грани ABB1A1 - точка М принадлежит A1B и B1A, то есть опять таки обеим плоскостям. Таким образом КМ - линия пересечения плоскостей.
Треугольники А1КМ и В1КМ - равносторонние. Если считать, что их сторона равна 1, то ребро куба равно √2, а высота треугольника А1КМ (и В1КМ - тоже) равна √3/2;
То есть если обозначить косинус угла между перпендикулярами к КМ из точек A1 и В1 как х, то по теореме косинусов
(√2)^2 = (√3/2)^2 + (√3/2)^2 - 2*(√3/2)*(√3/2)*x; x = -1/3; Конечно, знак тут никакой роли не играет, просто выбранный для вычисления треугольник - тупоугольный. Дополнительный к нему угол имеет косинус 1/3; это просто вопрос выбора.
На самом деле, самое простое решение этой задачи получается, если применить координатный метод. Пусть Р - середина А1В1. Пусть начало координат лежит в ней, ось Z проходит через точку М, Х - через точку К, Y - через точки А1 и В1.
Здесь я принимаю ребро куба равным 2, то есть РА1 = РВ1 = РК = РМ = 1;
Плоскость ВА1С1 - то есть плоскость А1КМ проходит через точки К = (1,0,0); А1 = (0,-1,0); М = (0,0,-1);
уравнение такой плоскости x - y - z = 1; (можете проверить, что все три точки удовлетворяют этому уравнению)
Отсюда нормальный вектор к этой плоскости q = (1,-1,-1);
модуль этого вектора равен √3
Плоскость АВ1С1 - то есть плоскость В1КМ проходит через точки К = (1,0,0); В1 = (0,1,0); М = (0,0,-1);
уравнение такой плоскости x + y - z = 1;
Отсюда нормальный вектор к этой плоскости l = (1, 1,-1);
модуль этого вектора тоже равен √3;
осталось вычислить угол между нормальными векторами (равный, очевидно, углу между плоскостями), для чего надо их скалярно перемножить и разделить на модули. Скалярное произведение равно ql = 1 - 1 + 1 = 1; а произведение модулей равно 3, откуда косинус угла равен 1/3.
Видно, что тут ответ получается сам собой. Но большое преимущество такого метода в том, что им легко получать углы между плоскостями и в более сложных случаях, когда применение простых геометрических методов затруднительно.
Докажем, что АР параллельна ВС. (а не ВК, так как точки К в задании не наблюдается)
Итак, тр-к АВР - равнобедренный, так как АР=РВ (дано). Значит угол АВР=углу РАВ, а угол СВА = углу АВР, так как ВА - биссектриса. Имеем угол СВА= углу РАВ, а они - накрест лежащие при прямых АР и ВС. Значит ВС параллельна АР по 1-му признаку параллельности прямых:
Если при пересечении двух прямых секущей:
накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, топрямые параллельны.