1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.
ответ: в)
2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то
∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°
3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.
360° / n < 90°
4 / n < 1
n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.
4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:
18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.
Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:
18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.
ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.
5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.
ответ: б)
6. ∠1 + ∠2 < ∠3
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.
Подставим в первое неравенство:
180° - ∠3 < ∠3
2∠3 > 180°
∠3 > 90°
Значит треугольник тупоугольный.
7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
x = 45°
Углы треугольника 45°, 45° и 90°.
ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.
8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.
ответ: 2 треугольника.
Часть В.
1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см
BC = AB, CD = AD,⇒
Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см
2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.
В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,
АВ = АМ = 6 см.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:
∠1 + ∠2 = 45°.
В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°
4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда
∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.
ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°
5. Неточность в условии:
Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.
∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:
∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°
Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:
∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°
6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.
Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.
Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит
OF = OE = 8 см
Δ АВС - равнобедренный
ВК = 30 см - биссектриса к основанию АС, она же и медиана Δ АВС ⇒ АК=КС
NM = 16 см - средняя линия II АС ⇒AN=NB
NK = ? - средняя линия II ВС
NM x ВК в т.О и деляться ей пополам, т.к. Δ NMB подобен Δ АВС по 3-м углам, ⇒ Δ NMB равнобедренный и ВО его высота, биссектриса и медиана.
ВО=ВК т.к. NM средняя линия Δ АВС
Получаем
NO=1/2NM= 16/2=8
OK=1/2ВК= 30/2=15
Δ NOK прямоугольный, т.к. уже доказано, что BO высота Δ NMB ⇒ <BON = 90°
<NOK - смежный и =180°-<BON = 90°
По теореме Пифагора находим NK - гипотенузу Δ NOK
NK=√(NO²+OK²) = √(8²+15²)=√(64+225)=√289=17 см
1. Острый угол меньше 90°. Сумма смежных углов равна 180°, значит смежный с острым угол будет больше 90°, т.е. тупой.
ответ: в)
2. ∠1 - искомый, ∠2 и ∠3 - смежные с ним. Так как сумма смежных углов равна 180°, то
∠1 + ∠2 = 180° и ∠1 + ∠3 = 180°, значит ∠2 = ∠3 = 210°/2 = 105°.
∠1 = 180° - ∠2 = 180° - 105° = 75°
3. Полный угол составляет 360°, острый угол меньше 90°. Пусть n - количество углов с вершиной в одной точке.
360° / n < 90°
4 / n < 1
n > 4, т. е. 5 лучей можно провести.
4. Пусть 6 см - основание треугольника, тогда сумма боковых сторон:
18 - 6 = 12 см, а так как боковые стороны равны, то каждая равна 6 см.
Если 6 см - боковая сторона, то приходим к тому же результату:
18 - 6 · 2 = 18 - 12 = 6 см.
ответ: треугольник равносторонний со стороной 6 см.
5. ∠1 и ∠2 - внутренние односторонние при пересечении прямых m и n секущей а, так как их сумма равна 180° (135° + 45° = 180°), то прямы параллельны.
ответ: б)
6. ∠1 + ∠2 < ∠3
Сумма углов треугольника равна 180°:
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, значит ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3.
Подставим в первое неравенство:
180° - ∠3 < ∠3
2∠3 > 180°
∠3 > 90°
Значит треугольник тупоугольный.
ответ: в)
7. Пусть х - меньший угол, тогда 2х - больший. Сумма углов треугольника 180°:
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
x = 45°
Углы треугольника 45°, 45° и 90°.
ответ: 2) прямоугольный, 3) равнобедренный.
8. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Этому условию удовлетворяют только тройки чисел: 2, 3, 4 и 3, 4, 5.
ответ: 2 треугольника.
Часть В.
1. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.
АВ + AD = Pabd - BD = 18 - 5 = 13 см
BC = AB, CD = AD,⇒
Pabc = 2(AB + AD) = 2 · 13 = 26 см
2. АМ = МС = АС/2 = 12/2 = 6 см, так как ВМ медиана.
В ΔАВМ АО - биссектриса и высота, значит ΔАВМ равнобедренный,
АВ = АМ = 6 см.
3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:
∠А + ∠В = 90°, тогда сумма их половин в два раза меньше:
∠1 + ∠2 = 45°.
В ΔАОВ: ∠АОВ = 180° - (∠1 + ∠2) = 180°- 45° = 135°
4. Все углы равностороннего треугольника равны 60°, тогда
∠DAC = ∠DCA= 60° - 15° = 45°.
ΔADC: ∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 90° = 90°
5. Неточность в условии:
Биссектрисы AD и BE треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол С треугольника, если ∠АОЕ = 50°.
∠АОЕ - внешний угол треугольника АОВ, значит равен сумме двух внутренних, не смежных с ним:
∠АОЕ = ∠1 + ∠2 = 50°
Так как AD и ВЕ биссектрисы, то сумма углов А и В треугольника АВС будет в два раза больше:
∠А + ∠В = 2∠АОЕ = 2 · 50° = 100°.
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
∠С = 180° - (∠А + ∠В) = 180° - 100° = 80°
6. ∠ОАС = ∠ОСА, ⇒⇒ΔОАС - равнобедренный, тогда медиана BD является и высотой, значит и ΔАВС тоже равнобедренный.
Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к этой прямой.
OD⊥AC,⇒ ОС = 5 см.
Проведем ОЕ⊥АВ и OF⊥ВС. ОЕ = 8 см по условию.
Но BD и биссектриса равнобедренного треугольника АВС, а все точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, значит
OF = OE = 8 см
Δ АВС - равнобедренный
ВК = 30 см - биссектриса к основанию АС, она же и медиана Δ АВС ⇒ АК=КС
NM = 16 см - средняя линия II АС ⇒AN=NB
NK = ? - средняя линия II ВС
NM x ВК в т.О и деляться ей пополам, т.к. Δ NMB подобен Δ АВС по 3-м углам, ⇒ Δ NMB равнобедренный и ВО его высота, биссектриса и медиана.
ВО=ВК т.к. NM средняя линия Δ АВС
Получаем
NO=1/2NM= 16/2=8
OK=1/2ВК= 30/2=15
Δ NOK прямоугольный, т.к. уже доказано, что BO высота Δ NMB ⇒ <BON = 90°
<NOK - смежный и =180°-<BON = 90°
По теореме Пифагора находим NK - гипотенузу Δ NOK
NK=√(NO²+OK²) = √(8²+15²)=√(64+225)=√289=17 см