Точки a(2; 0; 0), b(0; 0; 0), c(0; 2; 0), b1(0; 0; 2) являются вершинами куба abcda1b1c1d1.
а) найдите координаты точек c1 и d1.
б) найдите координаты векторов c1d, a1c, c1d - 2a1c.
в) запишите разложение вектора p=c1d1 - 2a1c + bd1 по координатным векторам i, j, k
Объяснение:
Задача кривая. Слишком много данных, при этом не сходятся 2 различных решения.
Решение 1:
Пусть ВН - высота. Тогда в прямоугольном треугольнике △АВН ВН=(1/2)*АВ=12/2=6см (катет, лежащий против угла в 30°).
S(ABCD)=((AD+BC)/2)*BH=((18+11)/2)*6=87см².
Решение 2:
Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из вершин меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.
То есть АН=(AD-BC)/2=(18-11)/2=3,5см.
Тогда в прямоугольном треугольнике △АВН ВН=√(АВ²-АН²)=√(12²-3,5²)=√131,75см.
S(ABCD)=((AD+BC)/2)*BH=((18+11)/2)*√131,75=166,43см² (примерно)
Рекомендую конечно взять первое решение, но почему они не сходятся - понятия не имею.
1. Найдем направляющий вектор прямой, являющейся пересечением плоскостей x-2y+3z-4=0 и x+y-5z+9=0. Для этого вспомним, что в уравнении плоскости:
ax + by + cz + d = 0
коэффициенты (а, b, c) являются координатами вектора n, ортогонального плоскости. Так что мы имеем два вектора n1(1, -2, 3) и n2(1, 1, -5), которые ортогональны нашим плоскостям. Т. к. наша прямая лежит одновременно в обоих плоскостях, то она ортогональна обоим векторам n1 и n2. Соответственно направляющим вектором этой прямой может быть вектор, равный векторному произведению [n1, n2]. Итак, составляете матрицу векторного произведения, раскладываете ее по строке с символами i j k и получаете координаты направляющего вектора.
2. Т. к. плоскость параллельна оси ОХ, то на искомой плоскости всегда можно построить вектор с координатами (1, 0, 0). Действительно, предположим мы возьмем на плоскости точку М с координатами (а, b, c). Тогда на плоскости имеется и точка М1(a+1, b, c). Ведь если мы проведем из точки М (a, b, c) прямую, параллельную оси ОХ, то у всех точек этой прямой координаты у и z будут одинаковы, а изменяться будет лишь координата х.
Найдем координаты вектора ММ1(a +1 - a, b - b, с - с) = (1, 0, 0)
3. Теперь найдем точку, принадлежащую искомой плоскости. Предположим эта точка лежит на прямой пересечения двух плоскостей x-2y+3z-4=0 и x+y-5z+9=0. Предположим также, что координата z этой точки равна 0. Тогда, подставив в уравнения плоскостей z = 0 получим систему уравнений:
x - 2y - 4 = 0
x + y + 9 = 0
Решая эту систему получаем:
х = -14/3
y = -13/3
Итак мы нашли координаты точки А (-14/3, -13/3, 0), которая принадлежит искомой плоскости.
4. Теперь возьмем на искомой плоскости произвольную точку Х (х, y, z) и найдем координаты вектора АХ (x +14/3, y + 13/3, z) который пробегает все точки плоскости.
5. Таким образом у нас есть 3 вектора: направляющий вектор прямой, координаты которого Вы нашли в п. 1, вектор ММ1(1, 0, 0) и вектор АХ (x +14/3, y + 13/3, z). Все эти векторы компланарны. А это значит, что их смешанное произведение равно 0. Теперь составляем матрицу смешанного произведения этих векторов, поставив на первую строчку координаты вектора АХ (x +14/3, y + 13/3, z). Далее разложив матрицу по первой строке, приведя коэффициенты при х, у, z и приравняв полученное выражение к 0 Вы получите искомое уравнение плоскости.