В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
Центр описанной вокруг треугольника окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров треугольника.
Треугольники АВD и BCD равны, т.к. параллелограмм делится диагональю ВD на два равных треугольника.
Радиусы описанных вокруг этих треугольников окружностей равны.
Проведем срединные перпендикуляры и найдем центры О и О1 описанных окружностей. Соединив центры О и О1 с вершинами В и D параллелограмма, получим ромб ВОDО1, т.к. его стороны - радиусы равных описанных окружностей, и диагонали пересекаются под прямым углом. Его диагональ ОО1- искомое расстояние между центрами окружностей.
Угол ВОD центральный ( находится между двумя радиусами окружности с центром О) и равен удвоенному углу α, который является вписанным в эту окружность.
Сторона ромба = R
R=a:2 sin α где а - диагональ BD параллелограмма α — угол ромба, лежащий против стороны BD.
Ход решения: 1. Найти ВD по теореме косинусов Найти сторону ОВ=R Найти ОО1, диагональ ромба, - искомое расстояние - по формуле d=a√(2-2·cos α)=a√(2+2·cosβ)
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство.Обратимся к рисунку, на котором АВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, АD — его биссектриса.Из равенства треугольников АВD и АСD (по 2 признаку равенства треугольников:AD-общая;углы 1 и 2 равны т.к. AD-биссектриса;AB=AC,т.к. треугольник равнобедренный) следует, что ВD = DC и 3 = 4. Равенство ВD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС и поэтому АD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АО является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.
Центр описанной вокруг треугольника окружности находится в точке пересечения срединных перпендикуляров треугольника.
Треугольники АВD и BCD равны, т.к. параллелограмм делится диагональю ВD на два равных треугольника.
Радиусы описанных вокруг этих треугольников окружностей равны.
Проведем срединные перпендикуляры и найдем центры О и О1 описанных окружностей.
Соединив центры О и О1 с вершинами В и D параллелограмма, получим ромб
ВОDО1, т.к. его стороны - радиусы равных описанных окружностей, и диагонали пересекаются под прямым углом.
Его диагональ ОО1- искомое расстояние между центрами окружностей.
Угол ВОD центральный ( находится между двумя радиусами окружности с центром О) и равен удвоенному углу α, который является вписанным в эту окружность.
Сторона ромба = R
R=a:2 sin α
где а - диагональ BD параллелограмма
α — угол ромба, лежащий против стороны BD.
Ход решения:
1. Найти ВD по теореме косинусов
Найти сторону ОВ=R
Найти ОО1, диагональ ромба, - искомое расстояние - по формуле
d=a√(2-2·cos α)=a√(2+2·cosβ)