Четырехугольник ABDC. Проводим диагонали и биссектрису DK. Точка К - точка пересечения диагонали AC и DK. ∠ KDB = 55°, т.к. DK - биссек. ⇒ он равен ∠KCB = 35° (по услов) ⇒ Точки K C B D лежат на одной окружности (см. рис.) Получается, вписанный четырехугольник, у которого противоположные углы в сумме 180°. Из этого следует: ∠BKC = ∠BDC = 40° ∠ABK = ∠BKC - ∠ BAC = 40 - 20 = 20° Тогда BK = AB ⇒ Тогда радиус первой окружности (около AKD) равен радиусу второй (∠ADK = ∠KDB = 55°) Поэтому: ∠CAD = ∠ ACD =
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пусть х см - один катет, тогда (х - 14) см - другой катет. Уравнение:
х² + (х - 14)² = 34²
х² + (х² - 2 · х · 14 + 14²) = 1156
х² + х² - 28х + 196 = 1156
2х² - 28х + 196 - 1156 = 0
2х² - 28х - 960 = 0
х² - 14х - 480 = 0
D = b² - 4ac = (-14)² - 4 · 1 · (-480) = 196 + 1920 = 2116
√D = √2116 = 46
х₁ = (14-46)/(2·1) = (-32)/2 = -16 (не подходит, так как < 0)
х₂ = (14+46)/(2·1) = 60/2 = 30 (см) - один катет
30 - 14 = 16 (см) - другой катет
ответ: 30 см и 16 см.
Проверка:
30² + 16² = 34²
900 + 256 = 1156
1156 = 1156 - верно
∠BKC = ∠BDC = 40°
∠ABK = ∠BKC - ∠ BAC = 40 - 20 = 20°
Тогда BK = AB ⇒ Тогда радиус первой окружности (около AKD) равен радиусу второй (∠ADK = ∠KDB = 55°) Поэтому:
∠CAD = ∠ ACD =
Следовательно, угол между диагоналями равен:
∠BDC + ∠ACD = 40 + 15 = 55°
ответ: 55 °