У фермера было прямоугольное поле. Его диагональ равна 100 метров. Со временем он решил оставить четвертую часть себе, а остальное отдать своим детям, уменьшив одну сторону своего прямоугольного поля на 40 м, а другую на 30 м. Найдите диагональ нового поля.​

Нарисован р/б, значит, третья сторона будет равна одной из известных сторон(это будет зависеть от того, какая сторона будет принята за основание) , чтобы определить какая сторона боковая воспользуемся свойством треугольника:
Сумма двух любых сторон треугольника больше третей стороны  
а) 4 см боковая (стороны 4,4 и 10)
боковая + боковая>основания
4+4>10
8>10(Л) значит такого треугольника не существует.
а) 10 см боковая (стороны 4,10 и 10)
боковая + боковая>основания
10+10>4
20>4(и) проверяем дальше
10+4>10
14>10(и) значит такой треугольник существует.

Первая окружность построена на AB, как на диаметре, а вторая — на BC. Прямая, проходящая через точку A, повторно пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке E, BD=25, BE=30. Найдите радиус меньшей из окружностей, если точки A, B и C лежат на одной прямой  ------------  
В условии не указано, каким образом  окружности касаются -  внутренним или внешним
 Внутреннее касание.   
ВD=25, ВЕ=30.  
О - центр меньшей окружности. 
 Угол АDВ =90º - опирается на диаметр.   
 угол ОЕD -=90º - радиус в точку касания.
  Проведем ОК||ЕD  
ЕDКО - прямоугольник.   
DК=ЕО= r  
ОК=ЕD=√(BE²-OE²)=√(900-625) 
 Рассмотрим ∆ ОВК  ОВ=r,    
ВК=DВ-DК=25-r  
По т.Пифагора   
OB²-BK²=OK²  
r ²-(25-r)²=900-625  
r² - (625- 50r+r²)=900-625   
50r=900  
r=18 
 ------  
Внешнее касание.  
ДЕ²=ВЕ²-ВД²  
ВК=ДЕ  
ВК²=ДЕ²=900-625  
ВО=ЕО=r  
ОК=r-25  
ВК²=ВО²-ОК² 
 900-625=r²-(r-25)² 
 900-625=r²-r²+50r-625⇒ 
 r =18   
 Но r не может быть 18, если ЕК=25.   
 Вывод: касание окружностей - внутреннее.  Возможно, именно для выяснения касания  условие дано в таком странном виде, если это не ошибка автора вопроса.  
 В приложении даны рисунки к обоим касания.