Тетраэдр - правильная пирамида, все грани которой равны, в том числе и основание. Объем пирамиды равен: (S*H)/3, то есть площади основания, а в нашем случае - одной грани, умноженной на высоту, опущенную к ней с вершины. Рассмотрим треугольник АВС: АК = КС = АС/2 = 5/2. В правильном треугольнике все медианы являются биссектрисами и высотами, и между собой они равны. Найдем медиану ВК: из теоремы Пифагора: BK^2 = BC^2 - KC^2, BK^2 = 25 - 25/4 = (100 - 25)/4 = 75/4, BK = пять корней из трех поделить на два. Нужно найти катет прямоугольного треугольника ОС; для этого вспомним, что медианы пересекаются в одной точке, которая делит их в соотношении 2:1, начиная от вершины. ВО = 2ОК. ВК = ВО + ОК, ВК = ОК + 2ОК, 3ОК = пять корней из трех поделить на два. ОК = пять корней из трех поделить на шесть. ВО = пять корней из трей поделить на три. BO = CO = AO. Из прямоугольного треугольника КОС: из теоремы Пифагора: KO^2 = KC^2 - OC^2, KO^2 = 25 - (25*3)/9, KO^2 = 50/3, KO = пять корней из шести поделить на три. Найдем площадь основания: S = (BK* AC)/2 = 25 корней из 3 поделить на 4. Объем пирамиды равен: 125 корней из двух разделить на 12.
Из треугольников ABC, ACD соответственно по теор синусов
CAB=a
CAD=b
BC/sina=AC/sin(a+2b)
CD/sinb=AC/sin(2b+a)
но BC=CD , тогда
sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)
sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0
cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0
cos(a+3b)=cos(b+3a)
a+3b=b+3a
2b=2a
a=b
CAB=CAD
2)
Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как CB=CD точка А перейдет в себя, тогда AB=AD тогда треугольники ABC=ACD откуда
BO = CO = AO. Из прямоугольного треугольника КОС: из теоремы Пифагора: KO^2 = KC^2 - OC^2, KO^2 = 25 - (25*3)/9, KO^2 = 50/3, KO = пять корней из шести поделить на три.
Найдем площадь основания: S = (BK* AC)/2 = 25 корней из 3 поделить на 4.
Объем пирамиды равен: 125 корней из двух разделить на 12.
Два решения
1)
Из треугольников ABC, ACD соответственно по теор синусов
CAB=a
CAD=b
BC/sina=AC/sin(a+2b)
CD/sinb=AC/sin(2b+a)
но BC=CD , тогда
sina/sin(a+2b) = sinb/sin(b+2a)
sina*sin(b+2a) - sinb*sin(a+2b) = 0
cos(a-b-2a)-cos(b+3a) - cos(b-a-2b)+cos(a+3b)=0
cos(a+3b)=cos(b+3a)
a+3b=b+3a
2b=2a
a=b
CAB=CAD
2)
Пусть AECF точка O пересечения диагоналей и OE=OF рассмотрим симметрию относительно точки O, точка Е перейдет в точку F, точка B в точку D по определению симметрии так как CB=CD точка А перейдет в себя, тогда AB=AD тогда треугольники ABC=ACD откуда
180-2a-b=180-2b-a
3a=3b
a=b