В окружность вписан равнобедренный треугольник DFR с основанием DF. Какие могут быть углы у этого треугольника, если одна из дуг равна 106 градусов Варианты ответа:
1. угол D=63,5 градус
угол F=63,5 градус
угол R=53 градус
2. угол D=53 градус
угол D=53 градус
угол F= 53 градус
угол R= 74 градус
3. угол D= 63 градус
угол F=58,5 градус
угол R= 58,5 градус
4. угол D=37 градус
угол F= 37 градус
угол R=106 градус
ответ: 216 (ед. площади)
Объяснение: Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят ромб на 4 равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей.
Пусть в ромбе АВСD диагональ ВD=2х, АС=2х+6, тогда их половины ВО=х и АО=х+3. По т.Пифагора ВО²+АО²=АВ² х²+(х+3)²=225⇒
2х²+6х+9=225 ⇒ 2х²+6х -208=0 Сократив все члены уравнения на 2, получим приведённое квадратное уравнение х²+3х-208. Его корни можно найти через дискриминант, можно по т.Виета:
Сумма корней приведённого квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену ⇒
х1+х2=-3
х1•х2=-208 ⇒ корни равны 9 и -12 ( отрицательный корень не подходит)
х=9, 2х=18, 2х+6=24
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Ѕ=18•24:2=216 (ед. площади)
если нижнее основание а, верхнее b, и искомый отрезок - длины х, то прощади трапеций будут такие
S1 = (b + x)*h1/2; S2 = (a + x)*h2/2;
или, поскольку S1 = S2,
(b + x)/(a + x) = h2/h1;
Чтобы получить соотношение между h1 и h2, проведем прямую, параллельную боковой стороне через конец отрезка х, лежащий на ДРУГОЙ боковой стороне.
Малое основание продолжим до пересечения с этой прямой. Получилось 2 подобных треугольника с основаниями (x - b) и (a - x); из подобия следует
h2/h1 = (a - x)/(x - b);
поскольку соответствующие высоты так же пропорциональны, как и стороны.
Итак, имеем уравнение для х
(b + x)/(a + x) = (a - x)/(x - b);
x^2 - b^2 = a^2 - b^2;
x = корень((a^2 + b^2)/2);
Подставляем численные значения, получаем
х = корень(24^2 + 7^2) = 25;
Надо же, и тут Пифагорова тройка (7,24,25)