В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС к боковой стороне ВС проведена медиана AD, равная 9 см. Найдите стороны треугольника АВС, если периметры треугольников ABD и ADC равны 33 см и 27 см соответственно. ( )

Проведем АН - биссектрису угла А.  Тогда <AHC=180-2α (по сумме внутренних углов треугольника),  <AHВ=180-(180-2α) = 2α (как смежные углы). Отметим, что НМ - высота равнобедренного треугольника АНС. Проведем  КН параллельно АС.  

KH = DM, так как DKHM - прямоугольник. Тогда из треугольника ВКН:  

КН=ВН*Sin(90-α) = BH*Cosα. (так как <KHB=<C = α).  

Итак, DM= BH*Cosα.   В треугольнике АВН по теореме синусов:

BH/Sin(<BAH)=AB/Sin(<AHB). Или BH/Sinα=AB/Sin2α.  => AB=BH*Sin2α/Sinα.

Но по формуле двойного угла Sin2α = 2Sinα*Cosα  =>

АВ=BH*2Sinα*Cosα/Sinα = BH*2*Cosα.

DM/AB=BH*Cosα/BH*2*Cosα =1/2.  => DM=2AB, что и требовалось доказать.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.  Построим треугольник А₁В₁С₁, совместив равные стороны АС и А₁С₁ данных треугольников как на рисунке, так, чтобы вершины В и В₁ оказались по разные стороны от прямой АС.

Тогда ΔВАВ₁ равнобедренный и значит ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника,

ΔВСВ₁ равнобедренный и ∠3 = ∠4, ⇒

∠АВС = ∠А₁В₁С₁ и значит ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по двум сторонам и углу между ними.