В Республике Саха (Якутия) имеется добыча:
1) алмазов, золота и газа равномерно по всей территории региона,
2) алмазов — на западе, золота — на востоке, газа — в центре,
3) алмазов — в центре, золота — на западе, газа — на востоке,
4) алмазов — на востоке, золота — в центре, газа — на западе.
​

Это как бы достаточно классическая задача. А такая пирамида называется тетраэдр. Правильная пирамида. Очень правильная.

Назови вершины банальными буквами ABCD.
Далее надо заметить, что отрезок, являющийся расстоянием между двумя противоположными рёбрами (длину которого мы ищем, назовём его банальной букой х), лежит в плоскости, содержащей одно из рёбер, и точку середины противоположного ребра. Точнее даже,  этот самый отрезок является высотой равнобедренного треугольника, образованного одним из рёбер, и высотами двух соседних граней.
Чему равна высота в равностороннем треугольнике со стороной а? Стандартная формула: а * корень(3) / 2.
Итак, что мы имеем: необходимо найти высоту равнобедренного треугольника, в основании которого лежит ребро а, а обе боковые стороны равны, как только что нашли, а * корень(3) / 2.
Теорема Пифагора нам тут имеем:
х = корень ( (а*корень(3)/2 ) в квадрате - (1/2а) в квадрате);
х = а * корень ( 2) / 2.

Такой получается ответ.

3.

<B = 60° => <HCB = 90-60 = 30° .

Теорема 30-градусного угла прямоугольного треугольника такова: сторона, противолежащая 30-и градусам в прямоугольном треугольнике  — равен половине гипотенузы, тоесть: HB = 4 => BC = 4*2 = 8.

<B = 60° => <A = 90-60 = 30°.

По той же теореме следует это: BC = 8 => AB = 8*2 = 16.

HB = 4 => AH = 16-4 = 12.

Вывод: AH = 12.

4.

<OAB & <CDO — пара накрест лежащих углов,  так ка прямые параллельны, то накрест лежащие углы друг другу равны, тоесть: <CDO = 47°.

<AOB = 90° => <COD = 90° (так как вертикальные углы).

<COD = 90°; <CDO = 47° => <DCO = 90-47 = 43°.

Вывод: <CDO = 47°; <DCO = 43°; <COD = 90°.

5.

Тема: Равенство треугольников.

По какому-то там признаку (не помню номер) — если 3 угла из каждого треугольника равны, то треугольники также друг другу равны.

Определим же эти углы: Так как прямыеу паралелльны, то накрест лежащие углы равны, тоесть: <ODB == <ACO. Нашл первую пару равных углов!

Вторая пара накрест лежащих друг другу равных углов: <CAO; <OBD.

Вторую пару то определили.

Так как <AOC = 90°, то его вертикальный угол — <DOB — также равен 90 градусам.

Доказали, что в двух треугольниках имеется 3 определения углов, что и означает, что треугольники равны.

И так как треугольники равны, то OB == AO; DO == OC.

Так как треугольники имеют 2 общей стороны, то против вертикальных прямых углов — лежат другу другу равные стороны — DB; AC.

6.

<A = 60° => <C = 30°.

По теореме 30-грдусного угла — катет AB — равен половине гипотенузы AC.

BM — медиана, потому что делит гипотенуз пополам, и также медиана прямоугольного треугольника, проведёнаня к гипотенузе — равна её половине, тоесть: BM == MC == AM = AC/2 = 5 => AC = 5*2 = 10.

BM == MC => <MBE == <MCE = 30° (<C = 30°).

<EMC = 90°; <C = 30° => <ME = MC/2 = 5/2 = 2.5.

Вывод: ME = 2.5.