В трапеции ABCD (AD∥BC) ∠ABC=108∘ и ∠ADC=54∘. На луче BA за точкой A отметили точку K такую, что AK=BC. Найдите угол DKC, если известно, что ∠BKC=27∘.

Если точки F и G лежат на стороне AD, то решение:
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, опущенную к этому основанию.
Опустим на сторону AD высоту h из угла В.
Sabcd=h*AD.
Площадь треугольника GBF равна половине произведения основания на высоту, опущенную  на это основание. Поскольку высота, опущенная из вершины В на основание AD и высота треугольника GBF одна и та же, имеем:
Sgbf=(1/2)*h*FG.
AD=16, FG=4.
Тогда Sabcd/Sgbf=h*16/[(h/2)*4]=8.
ответ: отношение площадей равно 8:1.

Вариант 1.
Уровень А.
1. в) Одну.
2.  а) MN = KN
3. в) В - середина АD
4. б) N∈MK
5. б) ∠АОМ = ∠РОА
6. а) 48° и 132°
7. в) (рисунок во вложении)
8. б) прямой
9. б) Если биссектрисы двух углов перпендикулярны, то эти углы смежные.

Уровень В.
1. 180° - 113° = 67°
2. 12,3 - 5,7 = 6,6 см
3. 6,1 : 2 = 3,05 см
4. (140° - 20°) : 2 = 60°
5. 24 : 2 = 12 см
6. 180° - (56° : 2) = 180° - 28° = 152°

Вариант 2.
Уровень А.
1. в) Одну
2. в) 2 АВ = МВ
3. в) B – середина АD
4. а) С∈АВ
5. в) ∠ АОМ = ∠ КOМ
6. в) 93° и 77°
7. в) (рисунок во вложении)
8. а) острый
9. б) Если углы прямые, то они смежные

Уровень В.
1. 180° - 132° = 48°
2. 5,2 - 3,6 = 1,6 см
3. 2,8 · 2 = 5,6 см
4. 120° : 6 = 20°
5. 12 : 2 = 6 см
6. (180° - 124°) · 2 = 56° · 2 = 112°