Варіант 31. накресліть прямокутник авсь. побудуйте: а) відрізок, симетричний діагоналі ви відносно прямої ас; б) кут, симетричний куту алв відносно точки в.2. дано точки а(-1; -3), в(1; 1), c(3; -3). знайдіть координати точки,симетричної початку координат відносно: а) осі симетрії трикутника abc; б) основи медіани am трикутника abc.3. складіть формули паралельного перенесення, унаслідок якого центркола, описаного навколо прямокутного трикутника abc, переходить упочаток координат, якщо а (4; 1), в (1; 5), c(1; 1).4. катети двох прямокутних трикутників із кутом 30° відносяться як1: 2. знайдіть відношення площ цих трикутників. розгляньте триможливі випадки.
Объяснение:
Пусть M – середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. На сторонах AB и BC отмечены соответственно точки E и F так, что AE ≠ CF и
∠FMC = ∠MEF = α. Найдите ∠AEM.
Решение
Рассмотрим описанную окружность треугольника MEF. Угол между касательной и хордой MF равен ∠MEF = ∠FMC. Поэтому MC и есть касательная. Значит, центр окружности лежит на высоте BM. Следовательно, эта высота является осью симметрии рисунка. Поскольку AE ≠ CF, то окружность пересекает каждую из боковых сторон в двух точках. Причём E и F не симметричны. Два возможных случая снабжены соответствующими индексами (см. рис.). Рассмотрим их.
1) Внешний угол AE1M вписанного четырёхугольника ME1E2F2 равен углу MF2E2, а последний равен симметричному углу ME1F1, равному α.
2) Вписанные углы AE2M и ME2F2, равный α опираются на симметричные дуги.
ответ
α.
1.
Определяем координаты точки D (середина отрезка CB) :
X(D) = ( X(C) +X(B) ) /2 =(3+4) /2 = 3,5 ;
Y(D) = ( Y(C) +Y(B) ) /2 =(-2 +1) /2 = - 1,5.
D(3,5 ; - 0,5) .
2.
Уравнение прямой CB :
* * * y -y₁=k(x -x₁) , k =(y₂ -y₁) / (x₂ -x₁) _ угловой коэффициент * * *
k = (1 -(-2))/ (4 -3) =3/1 =3
у - (-2) = 3(x -3) ⇔ y = 3x -11.
* * * 3x - y -11 =0 ⇔ (3x - y -11) /√(3² + (-1)² )=0 ⇔(3x - y -11) /√10=0 ⇔
(3/√10)*x -(1/√10) *y -11/√10 = 0→нормальное . уравнение прямой; здесь
можно вычислить расстояние от точки A(1 ; 3) до прямой СВ , т.е. высоту AE : AE = |3*1 -3 -11| /√10 =11 /√10=1,1√10 . * * *
3 ₋.
Уравнение прямой AE :
AE ⊥ CB ⇒ k₁*k = -1 , k₁ = -1/3 ( угловой коэффициент прямой AE)
y -3 = -1/3(x-1) ⇔ y = (-1/3)x +10/3 .
4 ₋.
Определяем координаты точки E( основание высоты ) _пересечение двух
прямых :
{ y =3x -11 ; { x =4,3
{ y = (-1/3)x +10/3 { y =1, 9 E( 4,3 ; 1,9)
5 .
Если не проходили скалярное произведение векторов, то из ΔAED :
cosφ = AE / AD =√( (4,3,-1)² +(1,9 -3)²) / √( (3,5,-1)² +(-0,5 -3)²)
=(1,1√10 ) / √ 18,5 = 1,1*√10*√10/√ 18,5 *√10 = 11/√185.
φ =arcCos(11/√185) ≈ arccos( 0,809).
ответ: φ =arcCos(11/√185) * * * По таблице косинусов ↔φ =36° * * *