Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Проведем ЕК параллелльно АД. Углы ВЕС и ЕСК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК Рассмотрим прямоугольные треугольники ВЕС и ДМС. Они подобны, т.к. если в одном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен острому углу другого, то эти треугольники подобны Следовательно, углы ВСЕ и МДС равны. Опустим из Е перпендикуляр ЕН на АС, и проведем НТ параллельно ЕМ. Получился прямоугольник МЕНТ В прямоугольнике ВСКЕ углы ВСЕ и СЕК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК. В прямоугольнике ЕМТН НМ и ЕТ - диагонали. Они равны и точкой пересечения О делятся пополам. Следовательно, треугольник ЕМО равнобедренный, и угол МЕТ равен углу ЕМН. А так как угол СЕК и МЕТ - один и тот же, угол ЕМА равен углу ВСЕ и равен углу СДМ. Каждый из этих равных углов дополняет углы при МД до прямого. Следовательно, углы АМД и АДМ равны, и треугольник АМД - равнобедренный.
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.
Углы ВЕС и ЕСК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК
Рассмотрим прямоугольные треугольники ВЕС и ДМС.
Они подобны, т.к. если в одном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен острому углу другого, то эти треугольники подобны
Следовательно, углы ВСЕ и МДС равны.
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на АС, и проведем НТ параллельно ЕМ.
Получился прямоугольник МЕНТ
В прямоугольнике ВСКЕ углы ВСЕ и СЕК равны как накрестлежащие при параллельных ВЕ и СК.
В прямоугольнике ЕМТН НМ и ЕТ - диагонали.
Они равны и точкой пересечения О делятся пополам.
Следовательно, треугольник ЕМО равнобедренный, и угол МЕТ равен углу ЕМН.
А так как угол СЕК и МЕТ - один и тот же, угол ЕМА равен углу ВСЕ и равен углу СДМ.
Каждый из этих равных углов дополняет углы при МД до прямого.
Следовательно, углы АМД и АДМ равны, и треугольник АМД - равнобедренный.