Основное свойство первообразной Главная задача интегрирования состоит в том, чтобы по заданной некоторой функции найти все её первообразные.Признак постоянства функции
Если на некотором промежутке будет выполняться равенство F’(x) = 0, то тогда функция F на этом промежутке постоянна. Как уже известно, для некоторой функции f существует бесконечное много её первообразных. Все первообразные для некоторой функции f можно записать с общего вида первообразных.
Основное свойство первообразной
Будет справедлива следующая теорема. Теорема: любая первообразная для некоторой функции f на промежутке А может быть записана в виде:
F(x) +C, где F(x) – одна из первообразных для данной функции f на промежутке A, а С – некоторая произвольная постоянная.
Теорема, приведенная выше, называется еще основным свойством первообразной. Разберем её более подробно, так как в ней скрывается целых два свойства первообразной функции.
1. При подстановке любого числа вместо С в эту формулу получим первообразную функции f на промежутке А.
2. Если взять любую первообразную Ф для функции f на некотором промежутке А. То для этой производной можно подобрать некоторое число С, такое что для любого х будет выполняться следующее равенство: Ф(х) = F(x)+C.
Это свойство можно очень наглядно интерпретировать. Графики первообразных одной и той же функции будут получаться один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. И таких графиков будет бесконечно много.
Посмотрите на следующий рисунок, на нем наглядно показана геометрическая интерпретация всего вышесказанного.
рисунок
Рассмотрим следующий пример: найти общий вид первообразных, для функции f(x) = -x^3 на всей числовой оси.
Одной из первообразных будет являться функция –(x^4)/4, так как (–(x^4)/4)’ = -x^3. Следовательно, по теореме об основном свойстве первообразной, представленной выше, общий вид первообразных для функции f = -x^3 будет следующий:
F(x) = –(x^4)/4 + C.
При нахождении первообразных функции f промежуток, на котором задана функция f, обычно не указывают - для краткости записи. При этом, всегда имеются ввиду такие промежутки, чтобы они были как можно большей длины. (Сделай лутшим
Биография О жизни художника сохранилось немного сведений. Его современник, китайский теоретик и критик живописи Го Жосюй в своем трактате «Записки о живописи: что видел и слышал» от 1082 года сообщает о нём следующее: «Го Си, родом из Вэнь в Хэяне. Ныне занимает должность исюэ[1] в Императорском ведомстве Шуюань. Пишет пейзажи зимнего леса. Проявляет как искусность и разнообразие,восхищается им, но может выразить и собственные чувства. Огромные ширмы и высокие стены (с его росписями) намного сильнее, (чем у предшественников). В нынешнем поколении (художников) он — единственный. [В начале правления Си-нин получил императорский приказ расписать ширму для малого зала. Он расписал центральную створку, Ли Цзун-чэн и Фу Дао-инь расписывали боковые. Каждый постарался до конца (выразить) сокровенное, однако господину Фу посчастливилось в том, что его партнерами были Го и Ли.]»[2] Другие старинные источники подтверждают, что Го Си учился у Ли Чэна, превзошел его, создал свой стиль, и максимально свободно владел кистью. Расписывая стены дворцов, он создавал огромные пейзажи, выполненные одной чёрной тушью. Эта особая, традиционно-китайская техника живописи требует большого мастерства в исполнении, владения разного калибра кистями, разной тушью. Она также требует безукоризненного наложения мазка, поскольку наложенную тушь исправить уже невозможно. Хороший, выполненный одной чёрной тушью пейзаж в той же мере не уступает пейзажу цветному, в какой блестяще выполненные рисунки некоторых европейских мастеров XVI—XVIII веков часто бывают лучше многих их собственных картин. Го Си впитал все технические навыки предшественников, и вывел искусство пейзажа на новый уровень.
Если на некотором промежутке будет выполняться равенство F’(x) = 0, то тогда функция F на этом промежутке постоянна. Как уже известно, для некоторой функции f существует бесконечное много её первообразных. Все первообразные для некоторой функции f можно записать с общего вида первообразных.
Основное свойство первообразнойБудет справедлива следующая теорема. Теорема: любая первообразная для некоторой функции f на промежутке А может быть записана в виде:
F(x) +C, где F(x) – одна из первообразных для данной функции f на промежутке A, а С – некоторая произвольная постоянная.
Теорема, приведенная выше, называется еще основным свойством первообразной. Разберем её более подробно, так как в ней скрывается целых два свойства первообразной функции.
1. При подстановке любого числа вместо С в эту формулу получим первообразную функции f на промежутке А.
2. Если взять любую первообразную Ф для функции f на некотором промежутке А. То для этой производной можно подобрать некоторое число С, такое что для любого х будет выполняться следующее равенство: Ф(х) = F(x)+C.
Это свойство можно очень наглядно интерпретировать. Графики первообразных одной и той же функции будут получаться один из другого параллельным переносом вдоль оси Оу. И таких графиков будет бесконечно много.
Посмотрите на следующий рисунок, на нем наглядно показана геометрическая интерпретация всего вышесказанного.
рисунок
Рассмотрим следующий пример: найти общий вид первообразных, для функции f(x) = -x^3 на всей числовой оси.
Одной из первообразных будет являться функция –(x^4)/4, так как (–(x^4)/4)’ = -x^3. Следовательно, по теореме об основном свойстве первообразной, представленной выше, общий вид первообразных для функции f = -x^3 будет следующий:
F(x) = –(x^4)/4 + C.
При нахождении первообразных функции f промежуток, на котором задана функция f, обычно не указывают - для краткости записи. При этом, всегда имеются ввиду такие промежутки, чтобы они были как можно большей длины. (Сделай лутшим