Сначала лирическое отступление y(x)=x^2/(x-3) =(x^2-3x+3x-9+9)/(x-3) = x+3 + 9/(x-3) из полученного выражения уже понятно как выглядит график это сумма трех функций у=х у=3 у=9/(x-3) *********************** 1)область определения знаменатель не равен 0 значит х не равен 3 2)четность y(-x)=x^2/(-x-3) функция ни четная ни нечетная 3) из первого пункта - вертикальная асимптота х=3 4) производная y` = 1-9/(x-3)^2 5) экстремумы производная равна нулю при х1=0 и х2=6 y``=9/2 * 1/(x-3)^3 y`(x1) = -3/2 <0 значит х1 - точка локального максимума y`(x2) = 3/2 >0 значит х2 - точка локального минимума 6) точек перегиба нет так как нет таких точек что y``=9/2 * 1/(x-3)^3 = 0 7) есть наклонная асимптота у = х+3, искать ее надо при пределов, оставляю это занятие автору вопроса или может посмотреть на лирическое отступление в начале 8)график во вложении, на нем отображены вертикальная и наклонная асимптоты
Уравнение плоскости задано общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, тогда вектор нормали к плоскости n{A;B;C} уравнение плоскости 2y+4z-1=0 -> n{0;2;4} Расстояние от точки E(x1;y1;z1) до плоскости Ax+By+Cz+D=0 задается равенством d=( | A*x1+B*y1+C*z1+D | )/(√(A^2+B^2+C^2)) расстояние от точки M(1;0;-1) до плоскости d=(| -4-1|)/(√(4+16)) = 5/√20 = √20/4 Пусть N(x;y;z) - проекция точки M(1;0;-1) на плоскость, тогда вектор MN коллинеарен вектору n{A;B;C} -> MN =α*n -> {x-1;y;z+1} = α{0;2;4} -> y = 2α, z+1=4α -> 2y=z+1 -> 2y-z-1=0 - первое уравнение, точка N(x;y;z) принадлежит плоскости, -> 2y+4z-1=0 - второе уравнение , из этих двух уравнений 5z=0 -> z=0, подставляем в первое уравнение -> y=1/2 Расстояние от точки M до плоскости равно d =√20/4 -> (x-1)^2+y^2+(z+1)^2 =20/16 = 5/4 -> (x-1)^2 +1/4 + 1 = 5/4 -> (x-1)^2 = 0 -> x=1 Итак, координаты точки N(1;1/2;0), MN{0;1/2;1} Векторное равенство MM1 = 2MN -> {x-1;y;z+1} ={0;1;2} -> x=1, y=1, z=1 M1(1;1;1), расстояние от точки M1(1;1;1) d =5/√20 =√20/4 -> точка M1 симметрична точке M(1;0;-1)
y(x)=x^2/(x-3) =(x^2-3x+3x-9+9)/(x-3) = x+3 + 9/(x-3)
из полученного выражения уже понятно как выглядит график
это сумма трех функций у=х у=3 у=9/(x-3)
***********************
1)область определения
знаменатель не равен 0 значит х не равен 3
2)четность
y(-x)=x^2/(-x-3)
функция ни четная ни нечетная
3)
из первого пункта - вертикальная асимптота х=3
4)
производная
y` = 1-9/(x-3)^2
5)
экстремумы
производная равна нулю при х1=0 и х2=6
y``=9/2 * 1/(x-3)^3
y`(x1) = -3/2 <0 значит х1 - точка локального максимума
y`(x2) = 3/2 >0 значит х2 - точка локального минимума
6) точек перегиба нет так как нет таких точек что y``=9/2 * 1/(x-3)^3 = 0
7) есть наклонная асимптота у = х+3, искать ее надо при
пределов, оставляю это занятие автору вопроса или может посмотреть на
лирическое отступление в начале
8)график во вложении, на нем отображены вертикальная и наклонная асимптоты
Ax+By+Cz+D=0, тогда вектор нормали к плоскости
n{A;B;C} уравнение плоскости 2y+4z-1=0 -> n{0;2;4}
Расстояние от точки E(x1;y1;z1) до плоскости
Ax+By+Cz+D=0 задается равенством
d=( | A*x1+B*y1+C*z1+D | )/(√(A^2+B^2+C^2))
расстояние от точки M(1;0;-1) до плоскости
d=(| -4-1|)/(√(4+16)) = 5/√20 = √20/4
Пусть N(x;y;z) - проекция точки M(1;0;-1) на плоскость,
тогда вектор MN коллинеарен вектору n{A;B;C} ->
MN =α*n -> {x-1;y;z+1} = α{0;2;4} -> y = 2α, z+1=4α
-> 2y=z+1 -> 2y-z-1=0 - первое уравнение, точка
N(x;y;z) принадлежит плоскости, -> 2y+4z-1=0 -
второе уравнение , из этих двух уравнений 5z=0 ->
z=0, подставляем в первое уравнение -> y=1/2
Расстояние от точки M до плоскости равно d =√20/4
-> (x-1)^2+y^2+(z+1)^2 =20/16 = 5/4 ->
(x-1)^2 +1/4 + 1 = 5/4 -> (x-1)^2 = 0 -> x=1
Итак, координаты точки N(1;1/2;0), MN{0;1/2;1}
Векторное равенство MM1 = 2MN ->
{x-1;y;z+1} ={0;1;2} -> x=1, y=1, z=1
M1(1;1;1), расстояние от точки M1(1;1;1) d =5/√20 =√20/4 -> точка M1 симметрична точке M(1;0;-1)