Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое
Пошаговое объяснение:
1.
8 км 136 м * 6 - 7 м 75 см * 18+6 дм 7 мм * 58=48 км 711 м 34 см 6 мм
1) 8 км 136 м * 6=8 км*6+136 м*6=48 км+816 м=48 км 816 м
2) 7 м 75 см * 18=7 м*18+75 см * 18=126 м+1350 см=126 м+13 м 50 см=139 м 50 см
3) 6 дм 7 мм * 58=6 дм*58+7 мм*58=348 дм+406 мм=34 м 84 см 6 мм
4) 48 км 816 м - 139 м 50 см=48 км 676 м 50 см
5) 48 км 676 м 50 см+34 м 84 см 6 мм=48 км 711 м 34 см 6 мм
5 см 6 мм *40+5 км 760 м - 3 м 5 см*142=5 км 329 м 14 см
1) 5 см 6 мм * 40=5 см*40+6 мм*40=200 см+240 мм=2 м 24 см
2) 2 м 24 см+5 км 760 м=5 км 762 м 24 см
3) 3 м 5 см*142\3 м*142+5 см*142=426 м +710 см=426 м+7 м+10 см=433 м 10 см
3) 5 км 762 м 24 см - 433 м 10 см=5 км 329 м 14 см
2.
48 км 711 м 34 см 6 мм≈49 км
5 км 329 м 14 см≈5 км
3.
7 м 55 см · 5 + 6 м 85 см · 75 - 370 м 8 см=181 м 42 см≈181 м 4 дм
1) 7 м 55 см*5=755 см*5=3775 см=37 м 75 см
2) 6 м 85 см*75=685 см*75=51375 см=513 м 75 см
3) 37 м 75 см+513 м 75 см =550 м 150 см=551 м 50 см
4) 551 м 50 см - 370 м 8 см=181 м 42 см
480 м 64 см : 16 - 42 м 84см : 84 + 25 м 4см · 85=2 км 188 м 43 см≈2 км 188 м 4 дм
1) 480 м 64 см : 16=480 м:16+64 см:16=30 м 4 см
2) 42 м 84 см : 84=4284 см:84=51 см
3) 25 м 4 см * 85=254 см *85=215890 см=2 км 158 м 90 см
4) 30 м 4 см - 51 см=29 м 104 см - 51 см=29 м 53 см
5) 29 м 53 см+2 км 158 м 90 см=2 км 187 м 143 см=2 км 188 м 43 см
Пошаговое объяснение:
Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.
На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.
Например: вычислить определенный интеграл . Такой интеграл является неберущимся, но аналитически и геометрически всё хорошо:
Приближенное вычисление определенного интеграла с разложения подынтегральной функции в ряд
Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и появилась типовая задача курса высшей математики.
Пример 1
Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001
Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом (если он, конечно, сходится к ней на промежутке интегрирования).
Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту рас на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на уроке Разложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых сейчас пойдет разговор, могут показаться малопонятными.
Используем табличное разложение:
В данном случае
Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требует записывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда , он здесь ни к чему.
Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Если в практическом примере их не хватило, то придётся переписывать всё заново =( Поэтому целесообразно провести предварительный черновой анализ или перестраховаться, изначально записав побольше членов (собственно, такой же совет как и для приближенного вычисления значения функции с ряда).
Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.
Теперь второй этап решения:
Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:
Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся ещё на уроке о разложении функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена в точности совпадает с графиком функции ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования .
На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:
Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.
После упрощений почленно интегрируем всю начинку – напоминаю, что эта замечательная возможность обусловлена равномерной сходимостью степенных рядов:
Интегралы здесь на этом я не останавливаюсь.
На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.
Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:
Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Если сходящийся ряд знакочередуется, то абсолютная погрешность вычислений по модулю не превосходит последнего отброшенного члена ряда. В нашем случае уже третий член ряда меньше требуемой точности 0,001, и поэтому если мы его отбросим, то заведомо ошибёмся не более чем на 0,000972 (осознайте, почему!). Таким образом, для окончательного расчёта достаточно первых двух членов: .
ответ: , с точностью до 0,001
Что это получилось за число с геометрической точки зрения? – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).
Пример 2
Вычислить приближенно определенный интеберущимся, правда, решение не самое