Как человек влияет на природу? Люди порой не замечают на сколько важен нам растительный и животный миры. Проходя по саду человек может сорвать цветок, поломать ветку на дереве и через минуту выкинуть посчитая что никакой вред он не несет ни природе не себе. Также люди убивают животных что тоже очень сильно влияет на окружающий мир. Но конечно кроме того что люди совершают плохие поступки для природы они еще и делают добро для нее. Высаживают деревья, цветы целые сады. Создают заповедники, парки и еще много хорошего. Берегите природу, что бы потом она сберегла нас!
Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
\int f(x)\, dx
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x^2 sin\frac{1}{x} с F(0) = 0.
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
Люди порой не замечают на сколько важен нам растительный и животный миры. Проходя по саду человек может сорвать цветок, поломать ветку на дереве и через минуту выкинуть посчитая что никакой вред он не несет ни природе не себе. Также люди убивают животных что тоже очень сильно влияет на окружающий мир. Но конечно кроме того что люди совершают плохие поступки для природы они еще и делают добро для нее. Высаживают деревья, цветы целые сады. Создают заповедники, парки и еще много хорошего.
Берегите природу, что бы потом она сберегла нас!
Пусть в некоторой окрестности точки x_0 \in \R определена функция f\colon U(x_0) \subset \R \to \R. Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует,
\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}.
Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0:
f'(x_0) = f'_x(x_0)=\mathrm{D}\!f(x_0) = \frac{df(x_0)}{dx} = \left.\frac{dy}{dx}\right\vert_{x = x_0} = \dot{y}(x_0).
В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:
\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
\int f(x)\, dx
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x^2 sin\frac{1}{x} с F(0) = 0.
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx.