Thework in the library but there was was great!
2
1. Did
remember to water the plants yesterday?
3.
2. Did you do
special at the weekend?
cleaned the classroom after the party yesterday.
It was a mess.
4. I'm bored. I have
interesting to do.
5. My mum never cleans the house alone.
always
helps her.
6. Come here! There's
I'd like to discuss with you.
3
a) Read the text and answer the questions.
anywhere / nowhere / somewhere to sit and I had to go
anywhere / nowhere / somewhere else.
10. I enjoyed the party yesterday. Everything / nothing / nobody
Complete the gaps. Use something, somebody, anything,
anybody, nothing, nobody.
They look a bit dry.​

Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.

Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).

Примеры:

1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.

2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.

3. Функция F(x) =       является первообразной для функции f(x) =    на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала 



Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.

Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.

Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.

Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).

Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным  интегралом и обозначается символом   .

При этом f(x) называется подынтегральной функцией,  f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.



 Действительно,

 

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).

2.  Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.



 Действительно,



3.  Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.



Действительно,



4.       Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.



Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что

 где .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е. 



Действительно,  пусть  F(x) и G(x) —  первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и  G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,





Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.

            6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство  

,

 то справедливо и равенство

.

Процесс нахождения производной f(x) функции F(x) называется дифференцированием. Обратная задача — отыскание самой функции F(x) по ее производной f(x) — называется интегрированием.

Определение I. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F'(x) = f(x).

Примеры:

1. Функция F(x) = - cos x является первообразной для функции f(x) = sin x при всех действительных значениях х, так как в любой точке х числовой прямой (- cos х)' = sin x.

2. Функция F(x) = х3 является первообразной для функции f(x) = Зх2 при всех действительных значениях х, так как в любой точке числовой прямой (х3) '= Зх2.

3. Функция F(x) =       является первообразной для функции f(x) =    на интервале (-1; 1), так как в любой точке этого интервала 



Задача отыскания по данной функции f(x) ее первообразной F(x) решается неоднозначно. Действительно, если F(x) —первообразная для f(х), т.е. F'(x) =f(x), то функция F(x)+C , где С— произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как (F (х)+С)' = f(x) для любого числа С.

Например, для f(x) = cos x первообразной является не только sin x, но и функция sin х + С, так как (sin х + С)' = cos x.

Теорема 1. Если F (х) — какая-либо первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(х) на этом же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С — произвольная постоянная.

Из теоремы следует, что множество функций F(x) + С, где F(x) — одна из первообразных для функции f(x), а С—произвольная постоянная, исчерпывает все семейство первообразных функций для f(х).

Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x) называется ее неопределенным  интегралом и обозначается символом   .

При этом f(x) называется подынтегральной функцией,  f(x)dx — подынтегральным выражением, а переменная х— переменной интегрирования. Процесс восстановления функции по ее производной, или, что то же самое, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием. Так как интегрирование—операция, обратная дифференцированию, то для проверки правильности интегрирования достаточно продифференцировать результат интегрирования и получить при этом подынтегральную функцию.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.



 Действительно,

 

(F(x)+C)' = F'(x) = f(x).

2.  Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.



 Действительно,



3.  Интеграл от дифференциала функции равен (с точностью до произвольной постоянной) самой функции, т.е.



Действительно,



4.       Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.



Действительно, если F(x) — первообразная для функции f(x), т.е. F'(x) = f(x), то kF(x) —первообразная для функции kf(x). Из определения 2 следует, что

 где .

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, т.е. 



Действительно,  пусть  F(x) и G(x) —  первообразные для функций f(x) и g(x): F'(x) = f(x) и  G'(x) = g(x). Тогда функция F(x) ± G(x) является первообразной для функции f(х) ± g(x) и, следовательно,





Очевидно, это свойство справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.

            6. Если независимую переменную интегрирования х заменить некоторой дифференцируемой функцией и(х), то формула интегрирования не изменится. То есть, если справедливо равенство  

,

 то справедливо и равенство

.