1)Найти периметр прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 23 см меньше второго катета и на 25 см меньше гипотенузы. 2)Утроенное натуральное число на 54 меньше своего квадрата. Найти натуральное число.

В решении.

Объяснение:

1) Найти периметр прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 23 см меньше второго катета и на 25 см меньше гипотенузы.

х - длина первого катета.

х + 23 - длина второго катета.

х + 25 - длина гипотенузы.

По теореме Пифагора:

(х + 25)² = х² + (х + 23)²

Раскрыть скобки:

х² + 50х + 625 = х² + х² + 46х + 529

Привести подобные члены:

х² + 50х + 625 - х² - х² - 46х - 529 = 0

-х² + 4х + 96 = 0/-1

х² - 4х - 96 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 16 + 384 = 400         √D= 20

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(4-20)/2

х₁= -16/2 = -8, отбрасываем, как отрицательный.                  

х₂=(-b+√D)/2a  

х₂=(4+20)/2

х₂=24/2

х₂=12 (см) - длина первого катета.

12+23=35 (см) - длина второго катета.

12+25=37 (см) - длина гипотенузы.

Проверка по теореме Пифагора:

12² + 35² = 144 + 1225 = 1369;

37² = 1369;

1369 = 1369, верно.

Р треугольника = 12 + 35 + 37 = 84 (см).  

2) Утроенное натуральное число на 54 меньше своего квадрата. Найти натуральное число.

х - натуральное число.

По условию задачи уравнение:

х² - 3х = 54

х² - 3х - 54 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:

D=b²-4ac = 9 + 216 = 225         √D=15

х₁=(-b-√D)/2a

х₁=(3-15)/2

х₁= -12/2 = -6, отбрасываем, как отрицательное.                  

х₂=(-b+√D)/2a

х₂=(3+15)/2

х₂=18/2

х₂=9 - натуральное число.

Проверка:

9² - 3*9 = 81 - 27 = 54, верно.