Найдите обыкновенную дробь, если известно, что разность квад-
ратов ее знаменателя и числителя равна 55 и после увеличения
е числителя в 2 раза, а знаменателя в 1,5 раза дробь увеличится
на 8​

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1)     (n Î N),a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n - a2n-1b + ... - ab2n-1 + b2n)     (n Î N),(бином Ньютона)где n Î N,          n! = 1·2·3·...·n,     0! = 1.II. Свойства степеней

Следующие свойства справедливы для любых положительных чисел a и b и любых действительных чисел a и b.

a0 = 1;aa + b = aa · ab;(aa)b = aab;(ab)a = aa · ba;

Замечание 1. Отметим, что отрицательные числа также можно возводить в некоторые степени (целые и, более общо, рациональные вида  где m - целое, n - натуральное).

Замечание 2. 0a = 0, для любого a > 0.

III. Свойства радикалов   если a ≥ 0,   b ≥ 0,   k Î N,   если ab ≥ 0,   k Î N.   где a ≥ 0, если m - четно, a Î R, если m - нечетно.   где a ≥ 0,   b > 0,   n - четно или b ≠ 0, a Î R, если n - нечетно.   где a ≥ 0, если m - четно или n четно, a Î R, если m·n - нечетно.   где a > 0, b > 0, c > 0 и a2 ≥ b2c.

Пример 1. Определить ОДЗ алгебраических выражений:

Решение. a) ОДЗ данного выражения определяется из неравенства x + x2 - 2x3 ≥ 0, которое решаем при метода интервалов:

x + x2 - 2x3 ≥ 0   Û   x(1 + x - 2x2) ≥ 0   Û   x(2x + 1)(1 - x) ≥ 0   Û   x Î (-¥;-1/2]È[0;1].

Таким образом, D(E) = (-¥;-1/2]È[0;1].

b) Отметим, что выражение имеет смысл тогда и только тогда, когда

x2 + y ≠ 0,|x - y| ≠ 0,x + y ≠ 0,откуда следует, что D(E) = {(x,y)  |  x ≠ y,   x ≠ -y}.

c) Так как знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, а корень второй степени существует только из неотрицательных выражений, то для определения ОДЗ получим систему

b + c ≠ 0,b2c + c2b ≠ 0,d ≥ 0,  Û  b + c ≠ 0,bc(b + c) ≠ 0,d ≥ 0,  Û  b + c ≠ 0,b ≠ 0,c ≠ 0,d ≥ 0.

Таким образом, ОДЗ исходного выражения равна {(a,b,c,d)  |  b + c ≠ 0,   b ≠ 0,   c ≠ 0,   d≥ 0}.

Пример 2. Определить, являются ли выражения A и B тождественно равными на множестве M.

Решение. a) Так как           на множествеM, то, применив формулу сокращенного умножения, получим:

Условие a > b > 0 влечет  и, следовательно,  Отсюда получаем, что  Таким образом, выражения A и Bтождественно равны на множестве M.

b) Подобно предыдущему примеру

При преобразованиях учитывается, что, если  то , и 

Пример 3. Упростить выражения:

Решение. ОДЗ выражения определяется из системы  решая которую, получим b ≥ 2.

Выполним равносильные на ОДЗ преобразования:

так как на ОДЗ , следовательно,  Таким образом, при b ≥ 2 исходное выражение равно 

b) ОДЗ данного выражения является множество {(m,n)  |  m ≥ 0,   n ≥ 0,   m ≠ n}. Обозначив     получим     m = a6 и       n = b6 выражение принимает вид

Таким образом, исходное выражение на ОДЗ тождественно равно 

c) На ОДЗ:  {(a,b,c)  |  a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, a2 + c2 ≠ 0} выражение преобразуется следующим образом:

d) ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c)  |  a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:

Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:

a3(c - b) + b3(a - c) + c3(b - a) = c(a3 - b3) + ab(b2 - a2) + c3(b - a) == (a - b)(c(a2 + ab + b2) - ab(a + b) - c3) = (a - b)(c(a2 - c2) + ab(c - a) + b2(c - a)) == (b - c)(a - b)(-a2b - a2c + c2(a + b)) = (a - b)(b - c)(b(c2 - a2) + ac(c - a)) == (a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca).

Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.

f) ОДЗ выражения является множество {(x,y,z)  |  x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x}. Первое слагаемое выражения преобразуем следующим образом:

Аналогично преобразуются и другие слагаемые:Следовательно,

g) ОДЗ выражения равна R\{-2;0;3}. Учитывая, что выражение содержит |m| и |m - 3|, рассмотрим три случая:

пусть m Î (-¥;-2)È(-2;0); тогда |m| = -m,   |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимает видпусть m Î (0;3); тогда |m| = m,   |m - 3| = -(m - 3), и выражение принимаетпусть m Î (3;+¥); тогда |m| = m, |m - 3| = m - 3 и выражение принимает вид

Таким образом,

Пример 4. Разложить на множители:

a) (x + y)(y + z)(z + x) - xyz;b) x3 + y3 + z3 - 3xyz;c) x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1;d) x5 + x + 1.

Решение. a) Прибавляя и вычитая z(y + z)(z + x), а затем группируя удобным образом, получим:

(x + y)(y + z)(z + x) + z(y + z)(z + x) - z(y + z)(z + x) - xyz == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z((y + z)(z + x) - xy) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z(z2 + yz + zx) == (y + z)(z + x)(x + y + z) - z2(x + y + z) == (x + y + z)((y + z)(z + x) - z2) = (x + y + z)(xy + yz + zx).

b) Применяется формула суммы кубов и решается подобно предыдущему упражнению

x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - 3xy - x2 + xy - y2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2) + z(z2 - (x + y)2) == (x + y + z)(x2 - xy + y2 + z(z - x - y)) == (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz).

c) Применяя формулы сокращенного умножения, получим:

d)     x5 + x + 1 = 1 + x + x2 - x2 + x5 = 1 + x + x2 - x2(1 - x3) = (1 + x + x2) - x2(1 - x)(1 + x +x2) = (1 + x + x2)(1 - x2(1 - x)) = (1 + x + x2)(1 - x2 + x3).

Пусть ящиков по 8 кг  было Х штук,  тогда ящиков по 12 кг  было  Х+10  штук.

С первого  участка клубнику разложили  по 8 кг в каждый ящик,
значит всего с первого  участка собрали  8Х  кг.

Со второго  участка клубнику разложили  по 12 кг в каждый ящик,
значит всего со второго  участка собрали  12(Х+10)  кг.

Зная что с двух участков фермер собрал 860 кг  составим уравнение:
8Х  + 12(Х+10) = 860
8Х  + 12Х + 120 = 860
20Х  = 740          | : 20
Х  =  37 (было ящиков по 8 кг)

1)  37 + 10 = 47 (было ящиков по 12 кг)
2)  37 * 8 = 296 (кг  -  собрали с первого  участка )
3)  47 * 12 = 564 (кг  -  собрали со второго  участка )

ПРОВЕРКА:  296+564 = 860
                     860 = 860  (верно)
ОТВЕТ:    с первого  участка собрали 296  кг  клубники;
               со второго  участка собрали 564  кг  клубники.