Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной фукции у=ф(x) при Х=Хос точностью до двух цифр после запятой.

Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной фукции у=ф(x) при

Показать ответ

Ответ:

Николь11189

19.05.2021 19:03

$y''= \frac{x}{ {e}^{ \frac{x}{2} } } \\ y' = \int\limits {e}^{ - \frac{x}{2} } xdx$

По частям:

$u = x \: \: \: \: \: du = dx \\ dv = {e}^{ - \frac{x}{2} } \: \: \: \: \: \: \: v = - 2 \int\limits {e}^{ - \frac{x}{2} } d( - \frac{x}{2} ) = \\ = - 2 {e}^{ - \frac{x}{2} } \\ \\ uv - \int\limits \: vdu = \\ = - 2x {e}^{ - \frac{x}{2} } + \int\limits2 {e}^{ - \frac{x}{2} } dx = \\ = - 2 x{e}^{ - \frac{x}{2} } - 4 \int\limits{e}^{ - \frac{x}{2} } d( - \frac{x}{2} ) = \\ = - 2 x{e}^{ - \frac{x}{2} } - 4 {e}^{ - \frac{x}{2} } + C_1 = \\ = - {e}^{ - \frac{x}{2} } (2 x + 4) + C_1$

$y'= - {e}^{ - \frac{x}{2} } (2x + 4) + c1 \\ y = \int\limits( - {e}^{ - \frac{x}{2} }(2x + 4) + C_1)dx$

$u = 2x + 4 \: \: \: \: du = 2dx \\ dv = - {e}^{ - \frac{x}{2} } \: \: \: dv = 2 \int\limits {e}^{ - \frac{x}{2} } d( - \frac{x}{2} ) = \\ = 2 {e}^{ - \frac{x}{2} } \\ \\ 2(2x + 4) {e}^{ - \frac{x}{2} } - \int\limits2 \times 2 {e}^{ - \frac{x}{2} } dx = \\ = (4x + 8) {e}^{ - \frac{x}{2} } + 8 {e}^{ - \frac{x}{2} } = \\ = {e}^{ - \frac{x}{2} } (4x + 16)$

$y = {e}^{ - \frac{x}{2} } (4x + 16) + C_1 x+ C_2$

общее решение

$y(0) = \frac{1}{4}, y'(0) = - \frac{1}{4} \\$

$\frac{1}{4} = 1 \times (0 + 16) + 0 + C_2 \\ - \frac{1}{4} = - 1 \times (0 + 4) + C_1 \\ \\ C_2 = - \frac{63}{4} \\ C_2 = - \frac{1}{4} + 4 = \frac{15}{4}$

$y = {e}^{ - \frac{x}{2} } (4x + 16) + \frac{15}{4} x - \frac{63}{4} \\$

частное решение

При

$x_0 = - \frac{1}{2} \\$

$y( - \frac{1}{2} ) = {e}^{0.25} ( - 2 + 16) + \frac{15}{4} \times ( - \frac{1}{2} ) - \frac{63}{4} = \\ = 1.28 \times 14 - \frac{15}{8} - \frac{63}{4} = 0.35$