Войти Регистрация Спроси ai-bota

По условиям Даламбера-Эйлера доказать аналитичность функции и найти её производную: W = sin z

Показать ответ

Ответ:

diana0483

15.11.2020 05:29

$\cos (z)$

Объяснение:

$\sin (z)=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\dfrac{-e^{-i(x+iy)}+e^{i(x+iy)}}{2i}=\dfrac{-e^{y-ix}+e^{-y+ix}}{2i}=\\ \dfrac{-e^{y}(cos(-x)+isin(-x))+e^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2i}= \\ \dfrac{ie^{y}(cos(x)-isin(x))-ie^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2}= \\ \dfrac{sin(x)(e^{y}+e^{-y})+i\cdot cos(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$u(x,y)=\dfrac{sin(x)(e^{y}+e^{-y})}{2},\;\;v(x,y)=\dfrac{cos(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2},\;\;\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}$

$\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{-sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2},\;\;\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2}$

Как видим, условия Даламбера-Эйлера выполняются. При этом частные производные u и v непрерывны по обеим переменным, а значит W(z) аналитична. Тогда ее производная равна

$W'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{cos(x)(e^{y}+e^{-y})}{2}+i\dfrac{-sin(x)(e^{y}-e^{-y})}{2}=\\ \dfrac{e^{y}(cos(x)-isin(x))+e^{-y}(cos(x)+isin(x))}{2}=\\ \dfrac{e^{y}e^{-ix}+e^{-y}e^{ix}}{2}=\dfrac{e^{y-ix}+e^{-y+ix}}{2}=\cos(z)$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Алгебра

riko20520

23.10.2022 01:04

А) постройте график функции у=х-2,5.б) укажите координаты точек пересечения графика с осями координат. рисунок и решение написать...

Киса11111112

11.07.2022 11:58

Один из корней уравнения x^2-26x+q=0 равен 12. найдите другой корень и свободный член q....

ekaterinatrushkova

10.05.2023 18:37

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии,если а 2=7,а4=13...

Amana95

14.04.2022 21:25

Решить уравнение lg^2 * x - 3lg(10x)=1...

us6ipi2013

01.12.2020 08:05

Вычислите: cos(1 градус)+cos(2 градуса)+cos(3 градуса)++cos(179 градуса) поподробнее...

Lina555510

13.03.2020 04:04

Найдите общий вид первообразных для функции f.а)f(x)=3x^2-2x+4....

lynnikova05

15.02.2022 04:21

Решить дифференциальное уравнение xy` (lny – lnx) = y...

Hexihexi

11.03.2022 08:49

Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен 5 км, а длина дуги закругления-400м. какова градусная мера дуги закругления...

Крахмал16

11.03.2022 08:49

Известно что y=x в квадрате + 2х. составьте таблицу соответственных значений x и y и постройте по точкам график этой зависимости....

NIKESHNELY

19.07.2022 20:38

Найдите для функции f первообразную,график который проходит через точку м: а)f(x)=25cos5x,m(0; 3)....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку