Задание 1: Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:
а) y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;
б) y = 1 – x, y = 3 – 2x, x = 0.
Задание 2: Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
а) y = 1 – x2, y = -x – 1;
б) y = x2 – 3x + 2, y = x – 1;
в) y = x2 + 2x-3, y = -x2 + 2x +5;
г) y = cos x, y = -x, x = 0, x = ;
Задание 1:
a) У нас есть четыре прямые: y = x, y = -0,5x + 5, x = -1 и x = 3.
Для начала, нарисуем графики этих прямых на координатной плоскости:
Видим, что фигура ограничена этими прямыми и является треугольником.
Чтобы найти площадь этого треугольника, используем формулу площади треугольника: S = 1/2 * основание * высота.
Основание можно найти, вычитав x-координату точки пересечения прямых x = -1 и x = 3: основание = 3 - (-1) = 4.
А теперь нам нужно найти высоту треугольника. Для этого найдем y-координаты точек пересечения прямых y = x и y = -0,5x + 5.
Подставим x = -1 в обе уравнения: y = -1 и y = -0,5*(-1) + 5 = 5,5.
Получается, первая точка пересечения прямых имеет координаты (-1; -1) и (-1; 5,5) на графике.
Аналогично, подставим x = 3: y = 3 и y = -0,5*3 + 5 = 3,5.
Получается, вторая точка пересечения прямых имеет координаты (3; 3) и (3; 3,5) на графике.
Теперь мы знаем, что высота треугольника равна расстоянию между точками пересечения прямых по оси y, то есть |5,5 - 3,5| = 2.
Итак, площадь треугольника S = 1/2 * 4 * 2 = 4.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной прямыми в задании а) равна 4.
b) У нас есть три прямые исключая x = 0 потому что введено в график y = 3 – 2x и y = 1 – x (уже есть диапазон возможности значений для x и y).
Давайте нарисуем графики этих прямых на координатной плоскости:
Видим, что фигура ограничена этими прямыми и является треугольником.
Так же, как в предыдущем задании, чтобы найти площадь этого треугольника, используем формулу площади треугольника: S = 1/2 * основание * высота.
Основание можно найти, вычитав x-координату точки пересечения прямых x = 0 и y = 1 – x: основание = 0 - 0 = 0 (так как прямые параллельны по оси x).
А теперь нам нужно найти высоту треугольника. Для этого найдем y-координаты точек пересечения прямых y = 3 – 2x и y = 1 – x.
Подставим x = 0 в оба уравнения: y = 3 и y = 1.
Получается, точка пересечения прямых имеет координаты (0; 1) на графике.
Теперь мы знаем, что высота треугольника равна расстоянию по оси y между точкой пересечения прямых и прямой x = 0, то есть |1 - 0| = 1.
Итак, площадь треугольника S = 1/2 * 0 * 1 = 0.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной прямыми в задании б) равна 0.
Теперь перейдем к заданию 2:
а) У нас есть две функции: y = 1 – x2 и y = -x – 1.
Давайте нарисуем графики этих функций на координатной плоскости:
Видим, что фигура ограничена этими функциями и является фигурой в форме параболы.
Чтобы найти площадь этой фигуры, разобьем ее на две части: положительную и отрицательную по оси x.
Найдем точки пересечения графиков функций: y = 1 – x2 и y = -x – 1.
Нам нужно решить систему уравнений: 1 – x2 = -x – 1.
Приведем уравнение к квадратичному виду: x2 - x - 2 = 0.
Находим корни этого уравнения: x1 = -1 и x2 = 2.
Теперь мы знаем, что графики указанных функций пересекаются в точках (-1; 0) и (2; -3) на графике.
Заметим, что наша фигура ограничена прямыми x = -1 и x = 2.
Посчитаем площадь положительной части фигуры.
Это можно сделать, вычислив определенный интеграл от 1 – x2 до -x – 1 на отрезке [-1; 2].
S1 = ∫[от -1 до 2] (1 – x2) - (-x - 1) dx = ∫[от -1 до 2] (1 - x2 + x + 1) dx = ∫[от -1 до 2] (2 - x2 + x) dx
Создадим функцию F(x), где F(x) = 2x – (1/3)x3 + (1/2)x2 на отрезке [-1; 2].
Тогда площадь положительной части фигуры будет равна F(2) - F(-1):
S1 = F(2) - F(-1) = (2*2 - (1/3)*23 + (1/2)*22) - (2*(-1) - (1/3)*(-1)3 + (1/2)*(-1)2)
= (4 - (8/3) + 2) - (-2 + (1/3) - (1/2))
= 5 - (8/3) + (1/3) - (1/2)
= (15 - 8 + 1 - 3) / 3
= 5 - 2 / 3
= 13 / 3.
Теперь посчитаем площадь отрицательной части фигуры.
Это можно сделать, вычислив определенный интеграл от -x – 1 до 1 – x2 на отрезке [-1; 2].
S2 = ∫[от -1 до 2] (-x - 1) - (1 - x2) dx = ∫[от -1 до 2] (-x - 1 - 1 + x2) dx = ∫[от -1 до 2] (x2 - x - 2) dx
Создадим функцию G(x), где G(x) = (1/3)x3 - (1/2)x2 - 2x на отрезке [-1; 2].
Тогда площадь отрицательной части фигуры будет равна G(1) - G(-1):
S2 = G(1) - G(-1) = ((1/3)*13 - (1/2)*12 - 2*1) - ((1/3)*(-1)3 - (1/2)*(-1)2 - 2*(-1))
= ((1/3)*1 - 1/2 - 2) - (-1/3 + 1/2 + 2)
= ((1/3) - 1/2 - 2) - (-1/3 + 1/2 + 2)
= ((2/6) - 3/6 - 12/6) - (-2/6 + 3/6 + 12/6)
= (2 - 3 - 12) - (-2 + 3 + 12)
= -13 - (-13)
= -13 + 13
= 0.
Таким образом, площадь фигуры S = S1 + S2 = 13/3 + 0 = 13/3.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций в задании а) равна 13/3.
б) У нас есть две функции: y = x2 – 3x + 2 и y = x – 1.
Давайте нарисуем графики этих функций на координатной плоскости:
Видим, что фигура ограничена этими функциями и является фигурой в форме параболы.
Чтобы найти площадь этой фигуры, разобьем ее на две части: положительную и отрицательную по оси x.
Найдем точки пересечения графиков функций: y = x2 – 3x + 2 и y = x – 1.
Нам нужно решить систему уравнений: x2 – 3x + 2 = x – 1.
Приведем уравнение к квадратичному виду: x2 – 4x + 3 = 0.
Находим корни этого уравнения: x1 = 1 и x2 = 3.
Теперь мы знаем, что графики указанных функций пересекаются в точках (1; 0) и (3; 2) на графике.
Заметим, что наша фигура ограничена прямыми x = 1 и x = 3.
Посчитаем площадь положительной части фигуры.
Это можно сделать, вычислив определенный интеграл от x – 1 до x2 – 3x + 2 на отрезке [1; 3].
S1 = ∫[от 1 до 3] (x2 – 3x + 2) - (x – 1) dx = ∫[от 1 до 3] (x2 – 3x + 2 - x + 1) dx = ∫[от 1 до 3] (x2 - 4x + 3) dx
Создадим функцию F(x), где F(x) = (1/3)x3 - 2x2 + 3x на отрезке [1; 3].
Тогда площадь положительной части фигуры будет равна F(3) - F(1):
S1 = F(3) - F(1) = ((1/3)*33 - 2*32 + 3*3) - ((1/3)*13 - 2*12 + 3*1)
= (9 - 18 + 9) - (1/3 - 2 + 3)
= 0.
Теперь посчитаем площадь отрицательной части фигуры.
Это можно сделать, вычислив определенный интеграл от x – 1 до x2 – 3x + 2 на отрезке [-∞; 1].
S2 = ∫[от -∞ до 1] (x – 1) - (x2 – 3x + 2) dx = ∫[от -∞ до 1] (x - 1 - x2 + 3x - 2) dx = ∫[от -∞ до 1] (-x2 + 4x - 3) dx
Создадим функцию G(x), где G(x) = -(1/3)x3 + 2x2 - 3x на отрезке [-∞; 1].
Тогда площадь отрицательной части фигуры будет равна G(1) - G(-∞):
S2 = G(1) - G(-∞) = (-(1/3)*13 + 2*12 - 3*1) - (-(1/3)*(-∞)3 + 2*(-∞)2 - 3*(-∞))
= (-(1/3)*1 + 2*1 - 3) - 0
= (-1/3 + 2 - 3)
= (-1/3 + 2 - 9/3)
= (-10/3)
= -10/3.
Таким образом, площадь фигуры S = S1 + S2 = 0 + -10/3 = -10/3.
Ответ: Площадь фигуры, ограниченной графиками функций в задании б) равна -10/3.
в) У нас есть две функции: y = x2 + 2x - 3 и y = -x2 + 2x + 5.
Давайте нарисуем графики этих функций на координатной плоскости:
Видим, что фигура ограничена этими функциями и является фигурой в форме двух парабол.
Чтобы найти площадь этой фигуры, разобьем ее на две части: положительную и отрицательную по оси x.
Найдем точки пересечения графиков функций: y = x2 + 2x - 3 и y = -x2 + 2x + 5.
Нам нужно решить систему уравнений: x2 + 2x - 3 = -x2 + 2x + 5.
Приведем уравнение к квадратичному виду: 2x2 = 8.
Р