Я разметил начало координат в точке, в которой пересекаются продолжения ребер (то есть в вершине НЕусеченной пирамиды) и принял за ось X прямую вдоль высоты пирамиды.
Надо построить функцию y(x), где x - расстояние от О вдоль оси X (то есть высота), а y - площадь сечения пирамиды перпендикулярной плоскостью.
В САМОМ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
y = a*x^2;
Ясно, что площадь пропорциональна квадрату расстояния (а если не ясно - полезно понять, почему :)), причем при x = 0 y = 0 (так выбрано начало координат).
а - неизвестная величина.
Что известно? А вот что:
1. При x = x1; y = 18;
2. При x = x2; y = 128;
3. Точка x0 выбрана так, что (x0 - x1)/(x2 - x0) = 2/3;
Найти надо y при x = x0;
Легко видеть, что (x2/x1)^2 = 128/18 = (8/3)^2; то есть x2/x1 = 8/3;
Тут красот не будет, у задачи нет технически простого решения.
1. Надо найти ВТ.
Если центр правильного шестиугольника в основании обозначть О, то ВСТО - ромб с углом 120 градусов, и стороной 1, поэтому его большая диагональ ВТ равна √3 (удвоенная высота правильного треугольника). Само собой, В1Т1 имеет ту же длину √3.
2. Треугольник ВВ1Т1 - прямоугольный с катетами ВВ1 = 1 и В1Т1 = √3, отсюда гипотенуза ВТ1 = 2.
3. Теперь надо построить плоскость, проходящую через ВТ1 и середину АА1 - пусть это точка Р.
(Построить плоскость одновременно означает - построить сечение, хотя все детали этого сечения не понадобятся.)
4. В плоскости грани АВВ1А1 надо провести ВР и продолжить до пересечения с продолжением А1В1 в точке К. Поскольку АР = РА1, то В1А1 = А1К, и В1К = 2, отсюда из треугольника ВВ1К с катетами 1 и 2 находится ВК = √5.
5. В плоскости верхнего основания надо соединить точку К с точкой Т1. Из треугольника В1Т1К с катетами 2 и √3 получается КТ1 = √7.
6. В треугольнике ВТ1К точка Р (середина АА1) является серединой ВК. Поэтому расстояние от неё до ВТ1 равно половине высоты треугольника В1КТ к стороне ВТ1.
7. Вот к чему свелась задача.
В треугольнике ВТ1К со стронами ВТ1 = 2, ВК = √5, КТ1 = √7, надо найти половину высоты к стороне ВТ1.
(Конечно, можно вычислить площадь по формуле Герона, и так найти высоту, но тут можно сильно замучатся с корнями :) хотя я бы посоветовал хотя бы попробовать такой метод.)
8. Надо теперь нарисовать плоский чертеж такого треугольника - так проще решать. Далее речь идет только о треугольнике ВТ1К.
Пусть КН - высота к ВТ1. Обозначим КН = h; BH = x;
Я так думаю, что такое решение будет полезно :)
Я разметил начало координат в точке, в которой пересекаются продолжения ребер (то есть в вершине НЕусеченной пирамиды) и принял за ось X прямую вдоль высоты пирамиды.
Надо построить функцию y(x), где x - расстояние от О вдоль оси X (то есть высота), а y - площадь сечения пирамиды перпендикулярной плоскостью.
В САМОМ ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
y = a*x^2;
Ясно, что площадь пропорциональна квадрату расстояния (а если не ясно - полезно понять, почему :)), причем при x = 0 y = 0 (так выбрано начало координат).
а - неизвестная величина.
Что известно? А вот что:
1. При x = x1; y = 18;
2. При x = x2; y = 128;
3. Точка x0 выбрана так, что (x0 - x1)/(x2 - x0) = 2/3;
Найти надо y при x = x0;
Легко видеть, что (x2/x1)^2 = 128/18 = (8/3)^2; то есть x2/x1 = 8/3;
Я ввожу ЕЩЕ ОДИН НЕИЗВЕСТНЫЙ параметр t, так что
x2 = 8*t;
x1 = 3*t;
Тогда 18 = a*t^2*(3^2); 128 = a*t^2*(8^2);
то есть a*t^2 = 2 (вот как бывает:
Осталось найти, как x0 выражено через t;
(x0 - 3*t)/(8*t - x0) = 2/3;
5*x0 = 25*t;
x0 = 5*t;
y(x0) = 2*5^2 = 50;
Тут красот не будет, у задачи нет технически простого решения.
1. Надо найти ВТ.
Если центр правильного шестиугольника в основании обозначть О, то ВСТО - ромб с углом 120 градусов, и стороной 1, поэтому его большая диагональ ВТ равна √3 (удвоенная высота правильного треугольника). Само собой, В1Т1 имеет ту же длину √3.
2. Треугольник ВВ1Т1 - прямоугольный с катетами ВВ1 = 1 и В1Т1 = √3, отсюда гипотенуза ВТ1 = 2.
3. Теперь надо построить плоскость, проходящую через ВТ1 и середину АА1 - пусть это точка Р.
(Построить плоскость одновременно означает - построить сечение, хотя все детали этого сечения не понадобятся.)
4. В плоскости грани АВВ1А1 надо провести ВР и продолжить до пересечения с продолжением А1В1 в точке К. Поскольку АР = РА1, то В1А1 = А1К, и В1К = 2, отсюда из треугольника ВВ1К с катетами 1 и 2 находится ВК = √5.
5. В плоскости верхнего основания надо соединить точку К с точкой Т1. Из треугольника В1Т1К с катетами 2 и √3 получается КТ1 = √7.
6. В треугольнике ВТ1К точка Р (середина АА1) является серединой ВК. Поэтому расстояние от неё до ВТ1 равно половине высоты треугольника В1КТ к стороне ВТ1.
7. Вот к чему свелась задача.
В треугольнике ВТ1К со стронами ВТ1 = 2, ВК = √5, КТ1 = √7, надо найти половину высоты к стороне ВТ1.
(Конечно, можно вычислить площадь по формуле Герона, и так найти высоту, но тут можно сильно замучатся с корнями :) хотя я бы посоветовал хотя бы попробовать такой метод.)
8. Надо теперь нарисовать плоский чертеж такого треугольника - так проще решать. Далее речь идет только о треугольнике ВТ1К.
Пусть КН - высота к ВТ1. Обозначим КН = h; BH = x;
Тогда из треугольников BKH и KHT1 получается
x^2 + h^2 = 5;
(2 - x)^2 + h^2 = 7;
Если раскрыть скобки, то
4 - 4*x + x^2 + h^2 = 7; но x^2 + h^2 = 5; откуда 4 - 4*x = 2; x = 1/2; h^2 = 5 - 1/4 = 19/4;
h = √19/2;
А искомое расстояние равно половине h, то есть
ответ √19/4;
Вроде так