Вторая задача показалась мне полезной :) 1. Биссектриса MP делит KN пропорционально сторонам, то есть NP = 20; KP = 16; отсюда по формуле длинны биссектрисы (одной из десятков :), L^2 = ab - xy) MP^2 = 24*30 - 20*16 = 10*8*(3*3 - 2*2) = 400; MP = 20; 2. Если продолжить AK и CK до пересечения со сторонами в точках A1 и C1, то из теоремы Чевы (BC1/AC1)*(CA1/BA1)*(AM/CM) = 1; так как AM = CM; BC1/AC1 = BA1/CA1; кстати => A1C1 II AC; и из теоремы Ван-Обеля BC1/AC1 + BA1/CA1 = BK/KM = 1; => BC1/AC1 = BA1/CA1 = 1/2; получается AC1 = 4; BC1 = 2; (Примечание. Все это можно получить и без теорем Чевы и Ван-Обеля, и довольно легко. Самый красивый найти BC1/AC1 вот какой. Известно, что CC1 делит медиану BM (в точке K) пополам. Если провести AP II BM; так что P лежит на продолжении CB за точку B; то СС1 очевидно поделит - при продолжении за C1 - пополам и AP; кроме того, так же очевидно CB = BP; то есть AB и CC1 - медианы треугольника APC; отсюда BC1/AC1 = 1/2; как для любой медианы :), и точно также можно НЕЗАВИСИМО показать BA1/CA1 = 1/2;) Отсюда в трапеции AC1A1C A1C1 = AC/3; диагонали делятся пропорционально основаниям, и получается C1K = CK/3 = 4/3; A1K = AK/3 = 5/3; из теоремы косинусов для треугольника AKC1 со сторонами AC1 = 4; KC1 = 4/3; AK = 5 4^2 = 5^2 + (4/3)^2 - 2*5*(4/3)*cos(α); где α = ∠C1KA = ∠CKA1; аналогично для треугольника A1KC (A1C)^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 2*(5/3)*4*cos(α); если вычесть одно из другого, получится (A1C)^2 - 4^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 5^2 - (5/3)^2 = -8; (AC1)^2 = 4^2 - 8 = 8; A1C = 2√2; ВС = (3/2)*A1C = 3√2; вот как-то так.
Касательная это прямая. Уравнение прямой это y=kx+c. Коэффициент k равен производной от функции в данной точке, к чьему графику строится касательная. Значит надо брать производную от 2x^4-4x . Берём производную: y'=8x^3-4. В точке x0=1 значение производной равно: 8*1^3-4=4 Значит уравнение касательной будет следующим: у=4x+c. Чтобы найти c, надо узнать значение самой функции в точке x0=1. Считаем: 2*1^4-4*1 =2-4=-2 И подставляем в уравнение: -2=4*x0+c; -2=4+с; с=-4-2; с=-6. Окончательно получаем уравнение нашей касательной y=4x-6 Вроде так как-то.
1. Биссектриса MP делит KN пропорционально сторонам, то есть
NP = 20; KP = 16;
отсюда по формуле длинны биссектрисы (одной из десятков :), L^2 = ab - xy)
MP^2 = 24*30 - 20*16 = 10*8*(3*3 - 2*2) = 400;
MP = 20;
2. Если продолжить AK и CK до пересечения со сторонами в точках A1 и C1, то из теоремы Чевы
(BC1/AC1)*(CA1/BA1)*(AM/CM) = 1;
так как AM = CM; BC1/AC1 = BA1/CA1;
кстати => A1C1 II AC;
и из теоремы Ван-Обеля
BC1/AC1 + BA1/CA1 = BK/KM = 1;
=> BC1/AC1 = BA1/CA1 = 1/2;
получается AC1 = 4; BC1 = 2;
(Примечание. Все это можно получить и без теорем Чевы и Ван-Обеля, и довольно легко.
Самый красивый найти BC1/AC1 вот какой. Известно, что CC1 делит медиану BM (в точке K) пополам. Если провести AP II BM; так что P лежит на продолжении CB за точку B; то СС1 очевидно поделит - при продолжении за C1 - пополам и AP; кроме того, так же очевидно CB = BP; то есть AB и CC1 - медианы треугольника APC; отсюда BC1/AC1 = 1/2; как для любой медианы :), и точно также можно НЕЗАВИСИМО показать BA1/CA1 = 1/2;)
Отсюда в трапеции AC1A1C
A1C1 = AC/3; диагонали делятся пропорционально основаниям, и получается
C1K = CK/3 = 4/3; A1K = AK/3 = 5/3;
из теоремы косинусов для треугольника AKC1 со сторонами AC1 = 4; KC1 = 4/3; AK = 5
4^2 = 5^2 + (4/3)^2 - 2*5*(4/3)*cos(α);
где α = ∠C1KA = ∠CKA1;
аналогично для треугольника A1KC
(A1C)^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 2*(5/3)*4*cos(α);
если вычесть одно из другого, получится
(A1C)^2 - 4^2 = 4^2 + (5/3)^2 - 5^2 - (5/3)^2 = -8;
(AC1)^2 = 4^2 - 8 = 8; A1C = 2√2;
ВС = (3/2)*A1C = 3√2;
вот как-то так.
В точке x0=1 значение производной равно: 8*1^3-4=4
Значит уравнение касательной будет следующим: у=4x+c. Чтобы найти c, надо узнать значение самой функции в точке x0=1. Считаем:
2*1^4-4*1 =2-4=-2
И подставляем в уравнение: -2=4*x0+c; -2=4+с; с=-4-2; с=-6.
Окончательно получаем уравнение нашей касательной y=4x-6
Вроде так как-то.