Окружности ω1 и ω2 касаются окружности Ω в точках A и B соответственно. Из точки A проведены касательные к ω2, из точки B проведены касательные к ω1. Окружность γ1 касается касательных из точки A, а также ω1 в точке C. Окружность γ2 касается касательных из точки B, а также ω2 в точке D. X и Y — точки пересечения общих внешних и внутренних касательных к ω1 и ω2 соответственно. Точки Z1 и Z2 — центры гомотетии с отрицательным коэффициентом, переводящие Ω в ω1 и ω2 соответственно. Какие тройки точек лежат на одной прямой? A,C,X B,D,Y B,D,Z2 A,B,X A,Y,Z1 B,Y,Z1 A,Y,Z2 B,Y,Z2 X,Z1,Z2 Y,Z1,Z2

1) чертим Δ АВС -равносторонний. То есть все стороны одинаковы и равны 18 см. , все углы по 60 градусов; 
2) точка В делит сторону АС пополам, то есть АВ1=СВ1=9см. 
3) Проводим В1Д // ВС и В1Е // АВ; 
4) рассматриваем Δ АВС и Δ АДВ1. Они подобны. 
Стало быть, все стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. 
5) Сторона АВ1 Δ АДВ1 вдвое меньше стороны АС Δ АВС и равна 18/2=9(см.) ; 
6) и сторона В1Д вдвое меньше стороны ВС и равна 18/2=9(см.) ; 
7) и сторона АД вдвое меньше стороны АВ и равна 18/2=9(см.) ; 
8) Тогда ВД=АВ-АД=18-9=9(см) . 
9) В итоге получается, что В1Е =9 см, ВЕ=9см, а сумма всех сторон четырёхугольника ВЕВ1Д равна 4*9=36см. 
10 ответ: периметр образовавшегося четырёхугольника равен 36 см. 

Любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD; AC и BD; AD и BC  могут быть: 

а) параллельны одной из этих прямых. 

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну. 

 

б) пересекаться: 

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну. 

В рисунке приложения даны некоторые из получающихся пар  параллельных и пересекающихся прямых:

а) pd и mn как средние линии треугольников АСD и BCD параллельны AD;   kp и no параллельны  основанию АС треугольников АDC и АВС.

б) km и mn,  mn  и no пересекаются.