Окружности ω1 и ω2 касаются окружности Ω в точках A и B соответственно. Из точки A проведены касательные к ω2, из точки B проведены касательные к ω1. Окружность γ1 касается касательных из точки A, а также ω1 в точке C. Окружность γ2 касается касательных из точки B, а также ω2 в точке D. X и Y — точки пересечения общих внешних и внутренних касательных к ω1 и ω2 соответственно. Точки Z1 и Z2 — центры гомотетии с отрицательным коэффициентом, переводящие Ω в ω1 и ω2 соответственно. Какие тройки точек лежат на одной прямой? A,C,X B,D,Y B,D,Z2 A,B,X A,Y,Z1 B,Y,Z1 A,Y,Z2 B,Y,Z2 X,Z1,Z2 Y,Z1,Z2

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 

Рассмотрим ∆ ВСD и ∆ BAЕ. ∠АВС-  общий. 

∠ВАЕ=∠ВАС-∠САЕ, 

∠ВCD=∠ВСА-∠АСD. По условию ∠ЕАС=∠DCА,  ⇒ ∠ВАЕ=∠ВСD 

Треугольники ВАЕ и ВСD равны по стороне ( АВ=ВС по условию) и прилежащим к ней углам (ВАЕ=ВСD, угол В - общий). Следовательно, ВD=ВЕ. Доказано. 

            * * * 

Вариант решения- доказать равенство треугольников АСD и АСЕ по общей  стороне АС и двум  прилежащим углам. Тогда при вычитании из равных сторон АВ и СВ равных отрезковостанутся равные  BD и ВЕ

В тех же обозначениях рассмотрим прямоугольный треугольник MAO. Угол O у него 120/2 = 60 градусов (в силу с треугольником MBO). Стало быть угол M = 180-90-60 = 30 градусов. Получается что угол AMB = 30+30 = 60 и треугольник MAB равносторонний. Найдем его сторону, которая совпадает с катетом MA треугольника MAO. AO = 8, угол O = 60 градусов и получается, что |MA|/|AO| = tg(60) = корень(3) или |MA| = корень(3)*8. Периметр будет втрое большим P = корень(3)*24 = 41.6 см - какое-то некруглое число! Но вроде бы все правильно