Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой и её проекцией на основание. Если рассмотреть все три треугольника, образованных апофемой любой из граней, её проекцией и высотой пирамиды, то все эти прямоугольные треугольники равны - у них есть общий катет (высота пирамиды) и одинаковые противолежащие острые углы. Это означает, что все апофемы равны между собой, а также - что равны все проекции апофем на основание.
Поскольку все проекции апофем равны, то проекция вершины пирамиды РАВНОУДАЛЕНА от сторон треугольника в основании, то есть это - центр вписанной в основание окружности. То есть доказаны оба пункта.
(на самом деле, если взять ЛЮБУЮ пирамиду - с любым числом граней, и потребовать ТОЛЬКО ОДНО - что все боковые грани одинаково наклонены к основанию, то это автоматически означает, что 1. в МНОГОУГОЛЬНИК в основании МОЖНО вписать окружность, и 2. вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Все, что дополнительно требуется - чтобы многоугольник в основании был выпуклым.)
Остается вычислить радиус вписанной в основание окружности (который, как было показано, и есть - проекция апофемы).
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании α. Поскольку центр вписанной в такой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрисы острого угла α и высоты-медианы-биссектрисы угла при вершине, то для радиуса вписанной окружности сразу можно записать соотношение
r = (a/2)*tg(α/2).
Это - ответ. :)
Я там картинку добавил.
Треугольники DOM, DON и DOK равны. О - проекция вершины D на плоскость АВС, через DO проводится плоскость перпендикулярно АВ, поэтому DM и OM - перпендикуляры к АВ, угол DMO - линейный угол двугранного угла. Треугольники равны, потому что задано, что углы DMO, DKO и DNO равны, а DO - общий катет.
Поэтому О равноудалена от сторон, ОК = r.
Дальше, угол ОСК = α/2, СК = а/2, откуда r = (a/2)*tg(α/2).
Первое немогу решить, так как давно это было,не могу вспомнить всех формул.
Решение задачи №2:
а) Найдем гипотенузу BD треугольника BCD:
BD=корень из (BC^2+CD^2)= корень из(5^2 + 5^2)= корень из 50
Назовем проекцию диагонали BD1, она является катетом прямоугольного треугольника BDD1. Найдем ее:
BD1=кореньиз(BD^2-DD1^2)=кореньиз((корень из 50)^2-1^2)=кореньиз49=7
ответ: проекция диагонали BD на плоскость равна 7 см.
б)я не знаю, но по моему они могут быть и не перпендикулярны.
если только не имеется в виду плоскость в которой лежит CDD1, тогда да, т.к. ВС перпендикулярен СDD1
Высота боковой грани называется "апофема".
Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой и её проекцией на основание. Если рассмотреть все три треугольника, образованных апофемой любой из граней, её проекцией и высотой пирамиды, то все эти прямоугольные треугольники равны - у них есть общий катет (высота пирамиды) и одинаковые противолежащие острые углы. Это означает, что все апофемы равны между собой, а также - что равны все проекции апофем на основание.
Поскольку все проекции апофем равны, то проекция вершины пирамиды РАВНОУДАЛЕНА от сторон треугольника в основании, то есть это - центр вписанной в основание окружности. То есть доказаны оба пункта.
(на самом деле, если взять ЛЮБУЮ пирамиду - с любым числом граней, и потребовать ТОЛЬКО ОДНО - что все боковые грани одинаково наклонены к основанию, то это автоматически означает, что 1. в МНОГОУГОЛЬНИК в основании МОЖНО вписать окружность, и 2. вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Все, что дополнительно требуется - чтобы многоугольник в основании был выпуклым.)
Остается вычислить радиус вписанной в основание окружности (который, как было показано, и есть - проекция апофемы).
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании α. Поскольку центр вписанной в такой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрисы острого угла α и высоты-медианы-биссектрисы угла при вершине, то для радиуса вписанной окружности сразу можно записать соотношение
r = (a/2)*tg(α/2).
Это - ответ. :)
Я там картинку добавил.
Треугольники DOM, DON и DOK равны. О - проекция вершины D на плоскость АВС, через DO проводится плоскость перпендикулярно АВ, поэтому DM и OM - перпендикуляры к АВ, угол DMO - линейный угол двугранного угла. Треугольники равны, потому что задано, что углы DMO, DKO и DNO равны, а DO - общий катет.
Поэтому О равноудалена от сторон, ОК = r.
Дальше, угол ОСК = α/2, СК = а/2, откуда r = (a/2)*tg(α/2).