Уравнение прямой АС: Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. 2(х+2)=13(у-3) 2х+4=13у-39 2х-13у+43=0 - уравнение прямой АС
Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13) Уравнение прямой BD запишем в общем виде: ax+by+c=0 Нормальный вектор прямой BD имеет координаты (a;b) Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны. Скалярное произведение таких векторов равно 0 Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат 2a-13b=0 Нетрудно догадаться, что достаточно взять а=13; b=2 Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD 13x+2y+c=0 В(4:7) x=4 у=713·4+2·7+с=0 ⇒ с=-66
Уравнение прямой BD : 13x+2y-66=0
Применяем уравнение прямой в виде у=kx+b -уравнение прямой с угловым коэффициентом k
Запишем уравнение прямой АС в виде у=kx+b Чтобы найти k и b подставим координаты точек А(-2;3) х=-2 у=3 С(11;5) х=11 у=5 в уравнение у =kx+b
Получим систему двух уравнений 3=-2k+b 5=11k+b
Вычитаем из первого уравнения второе -2=-13k⇒ k=2/13 b=3+2k=3+(4/13)=43/13
Уравнение прямой АС : у = (2/13)x+ (43/13) и Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1) Угловой коэффициент прямой BD равен (-13/2)
Уравнение BD также пишем в виде у=kx+b Угловой коэффициент k =(-13/2) у=(-13/2)х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение В(4;7) х=4 у=7
7=(-13/2)·4+ b ⇒ b=7+26=33 Уравнение прямой BD y=(-13/2)x+ 33
В треугольник со стороной 10 см и высотой 7 см, проведенной к этой стороне, вписан прямоугольник, стороны которого относятся как 4:7, причем меньшая сторона прямоугольника лежит на данной стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника. --------- Сделаем рисунок треугольника АВС и вписанного прямоугольника ТМКО Треугольники МВК и АВС подобны - МК||АС, углы при основаниях равны по свойству параллельных прямых и секущей, и угол В - общий. Пусть коэффициент отношения сторон прямоугольника будет х. Тогда ТО=МК=4х, МТ=КО=7х Высота ВЕ ∆ МВК=ВН-ЕН=7-7х Из подобия треугольников следует отношение их высот и оснований: ВН:ВЕ=АС:МК 7:(7-7х)=10:4х 28х=70-70х 98х=70 х=70:98=5/7 см ⇒ МК=ТО=4*5/7=20/7=2 4/7 см МТ+КО=7*5/7=5 см Проверка: ТО:ОК=(20/7):5=4/7
Применяем основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.
2(х+2)=13(у-3)
2х+4=13у-39
2х-13у+43=0 - уравнение прямой АС
Нормальный вектор этой прямой имеет координаты (2;-13)
Уравнение прямой BD запишем в общем виде:
ax+by+c=0
Нормальный вектор прямой BD имеет координаты (a;b)
Нормальные векторы прямых АС и BD ортогональны, так как прямые ортогональны.
Скалярное произведение таких векторов равно 0
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами равно сумме произведений одноименных координат
2a-13b=0
Нетрудно догадаться, что достаточно взять а=13; b=2
Чтобы найти с подставим координаты точки В в уравнение прямой BD
13x+2y+c=0
В(4:7) x=4 у=713·4+2·7+с=0 ⇒ с=-66
Уравнение прямой BD : 13x+2y-66=0
Применяем уравнение прямой в виде у=kx+b
-уравнение прямой с угловым коэффициентом k
Запишем уравнение прямой АС в виде
у=kx+b
Чтобы найти k и b подставим координаты точек
А(-2;3) х=-2 у=3
С(11;5) х=11 у=5
в уравнение у =kx+b
Получим систему двух уравнений
3=-2k+b
5=11k+b
Вычитаем из первого уравнения второе -2=-13k⇒ k=2/13
b=3+2k=3+(4/13)=43/13
Уравнение прямой АС : у = (2/13)x+ (43/13)
и
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых при умножении равны (-1)
Угловой коэффициент прямой BD равен (-13/2)
Уравнение BD также пишем в виде
у=kx+b
Угловой коэффициент k =(-13/2)
у=(-13/2)х+b
Чтобы найти b подставим координаты точки В в это уравнение
В(4;7) х=4 у=7
7=(-13/2)·4+ b ⇒ b=7+26=33
Уравнение прямой BD
y=(-13/2)x+ 33
---------
Сделаем рисунок треугольника АВС и вписанного прямоугольника ТМКО
Треугольники МВК и АВС подобны - МК||АС, углы при основаниях равны по свойству параллельных прямых и секущей, и угол В - общий.
Пусть коэффициент отношения сторон прямоугольника будет х.
Тогда ТО=МК=4х,
МТ=КО=7х
Высота ВЕ ∆ МВК=ВН-ЕН=7-7х
Из подобия треугольников следует отношение их высот и оснований: ВН:ВЕ=АС:МК
7:(7-7х)=10:4х
28х=70-70х
98х=70
х=70:98=5/7 см ⇒
МК=ТО=4*5/7=20/7=2 4/7 см
МТ+КО=7*5/7=5 см
Проверка:
ТО:ОК=(20/7):5=4/7