решить геометрию Задачи с 5 по 8

ответ: AB и CD – 8 (ед. длины); BC и AD – 12 (ед. длины)

Объяснение:

   ND=CD/2 Примем ND=a.  Тогда CD=2a, AB=CD=2a.

ВС||AD, BN – секущая => ∠СВN=∠BNA – накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Но ∠СВN=∠АВN как половина угла АВС ( BN – биссектриса) =>

∠ANB=∠АВN.

   В треугольнике АВN углы при основании BN равны. ∆ АВN- равнобедренный. => AN=AB=2a =>

 AD=AN+ND=2a+a=3a.  BC=AD=3a

P(ABCD)=AB+CD+BC+AD=2•(2a+3a)=10a

10a=40

a=4

AB=CD=2•4=8 (ед. длины)

BC=AD=3•4=12 (ед. длины)

АВСD -ромб, АВ=5 , АС=8 , ВВ₁⊥(АВС), СС₁⊥(АВС), ВВ₁=СС₁ , S(АВ₁С₁D)=24√2  .

Найти угол между плоскостями (АВС) и(АВ₁С₁)

Объяснение:

Пусть ВН⊥AD, тогда В₁Н⊥AD по т. о 3-х перпендикулярах, а значит угол ∠В₁НВ-линейный угол между плоскостями  (АВС) и(АВ₁С₁).

1)По св.диагоналей ромба из прямоугольного ΔАОВ  найдем ВО=√(5²-4²)=3, ВD=6 .   S(роба)=1/2*d₁*d₂  , S(роба)=1/2*48=24.

С другой стороны S(ромба)=a*h или 24=5*ВН , ВН=4,8  .

2)АВ₁С₁D-параллелограмм ( **), его S(АВ₁С₁D)=24√2  , AD=5 , тогда В₁Н=24√2:5=4,8√2.

3)ΔВВ₁Н-прямоугольный cos∠В₁НВ=ВН/В₁Н  или  cos∠В₁НВ=4,8/4,8√2=1/√2=√2/2 ⇒  ∠В₁НВ=45°

PS(**)

АВВ₁=ΔDCC₁ , как прямоугольные по двум катетам АВ=СD ,ВВ₁=СС₁. В равных треугольниках соответственные элементы равны ⇒ АВ₁=DС₁.

По признаку параллелограмма ( о равенстве противоположных сторон) -АВ₁С₁D параллелограмм.